Richiami di analisi 1: integrale unidimensionale

Facciamo qualche richiamo, all'integrale unidimensionale secondo Riemann. Una trattazione completa e molto più ricca di contenuti, la trovate nel corso di Analisi UNO scritto da Loris Fato, io quì mi limiterò a rinfrescare le idee. Iniziamo!

Un integrale è sostanzialmente un operatore che prende una funzione e restituisce la misura del suo grafico. Detto in parole semplici, se prendo una funzione reale, su un intervallo, il suo integrale (esteso a quell'intervallo) è l'area con segno sottesa dal grafico della funzione. Cerchiamo di definire matematicamente tutto questo, perchè; un conto è dirlo a parole, un conto è esprimerlo con un linguaggio rigoroso...ed è quello che faremo


Prendiamo una funzione, geometricamente rappresentata dal suo grafico. In prima approssimazione, se il grafico non presenta linee curve, l'area si ottiene banalmente come prodotto dei lati (essendo un quadrangolo). Se invece abbiamo linee curve, allora la questione è più difficile da risolvere... possiamo immaginare di approssimare l'area reale con l'unione di pezzi quadrangolari di cui sappiamo gia calcolare l'area, aumentando il numero di questi quadrangoli e diminuendone la dimensione di ciascuno di essi, otteniamo una stima sempre più vicina a quella reale... è questa l'idea di fondo che stà dietro al concetto geometrico di integrale "definito", anche se come vedremo esiste un teorema cosiddetto fondamentale che apre una nuova strada tutta da scoprire; ma ora passiamo alle formule:

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Consideriamo la nostra funzione \( f: \mathbb [a, b] \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R \), definita su un sottoinsieme (intervallo compatto) di \( \mathbb R \). La parola "compatto", è presa in prestito dalla topologia e vuol dire semplicemente che l'insieme è chiuso e limitato, (include gli estremi). Ebbene; operiamo ora una suddivisione \( \sigma \) di questo intervallo, nel senso che attraverso degli indici "spezziamo l'intervallo in tanti sottointervalli, la cui unione corrisponde a tutto l'intervallo \( [a, b] \).

$$ \sigma = \left\{ x_0, x_1, \ldots, x_i, x_{i+1}, \ldots, x_n \right\} $$ Facciamo corrispondere \(x_0 = a\) ed \( x_n = b\). E' una scelta che ci fa comodo, ma capite che l'indicizzazione è una scelta arbitraria, l'importante è in ogni caso, essere consistenti.

La cosa importante è che gli indici, siano ordinati, quindi ad esempio, deve valere la seguente condizione di maggiorazione multipla:

$$ x_0 < x_1 <\ldots < x_n \hspace{5cm} x_{i-1} < x_{i} $$
$$ x_0 < x_1 <\ldots < x_n \hspace{2cm} x_{i-1} < x_{i} $$
$$ x_0 < x_1 <\ldots < x_n $$ $$ x_{i-1} < x_{i} $$
Abbiamo così costruito la nostra indicizzazione dell'intervallo. Vi faccio osservare, ora, una cosa importante, che spesso viene data per scontato; e cioè: non è detto che i sotto-intervalli siano uguali. La loro dimensione (lunghezza) può variare, il caso che gli intervalli siano tutti uguali, è solo un caso particolare, ma non è richiesto - la definizione è del tutto flessibile in questo senso. Concentriamoci ora sul singolo sottointervallo:

Ogni sotto-intervallo dipende dall'indice \( i\), che ne identifica gli estremi. Chiamiamo l'intervallo \(i\)-esimo col nome \( \mathbb I_i \), esso è espresso nel modo seguente: $$ {\large \mathbb I_i = [x_{i-1}, x_i] } $$ Facendo variare \( i\) da \( 1\) ad \( n\) ottentiamo tutti i sottointervalli, che possiamo raccogliere in un insieme \( \Omega_i([a, b]) = \{\mathbb I_i\} \)


Arrivati a questo punto, adesso, associamo ad ogni sotto-intervallo un numerino, costruiamo cioè, una corrispondenza tra sotto-intervallo e questo numerino che chiamo ad esempio \( \xi_i \). Che cos'è \( \xi_i \)? é sostanzialmente un qualsiasi valore appartenente al sotto-intervallo; perciò abbiamo che: \( \xi_i \in \mathbb I_i \), o in altri termini \( x_{i-1} <= \xi_i <= x_{i} \).

Costruiamoci ora la seguente somma detta somma di Riemann: $${\large S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_{i}-x_{i-1}) } $$ $${\large S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_{i}-x_{i-1}) } $$ $$\large S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i\Bigr) $$ $$ \downarrow $$ $$ \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_{i}-x_{i-1}) $$ Questa somma dipingetela sulle pareti della vostra stanza ;), perchè rappresenta il punto fondamentale del discorso! Analizziamola brevemente, per capire cosa rappresenta. Dunque, abbiamo l'indice \( i\) che scorre (varia) da \( 1...n\), un pò come nei cicli iterativi nella programmazione es (for while ecc). Per ogni valore di \( i\), il generico termine della somma è il prodotto di \( f(\xi_i) \) con la misura dell'intervallo... geometricamente il termine generico della somma di Riemann, è l'area del rettangolo di base pari alla misura del sotto-intervallo ed altezza pari al valore della funzione in un punto generico del sotto-intervallo! Capito? Nulla di più che l'area di un rettangolo. E la somma, allora, cosa rappresenta? Banalmente la somma dei rettangoli! In altre parole èssa è un'approssimazione dell'area del grafico! Un'idea geniale.

Ma ora quì arriva il bello! La ciliegina sulla torta. Se aumentiamo il numero di questi sotto-intervalli, si dice in "gergo-matematichese" che stiamo raffinando la scomposizione, la stiamo, cioè, rendendo "più fine", nel senso che se ricalcoliamo la somma del nostro caro Riemann, sulla scomposizione raffinata, otteniamo rettangoli più piccoli, che meglio approssimano il comportamento del grafico di \( f\).

Ma una volta operato un raffinamento, possiamo continuare questo procedimento, aumentando sempre più il numero di questi rettangoli, scomponendo sempre più l'intervallo in più sotto-intervalli, addirittura all'infinito... di modo che la somma \( n\)-esima di Riemann si avvicina sempre più all'area del grafico \( S_n \rightarrow S(f) \). Matematicamente, tutto questo, si esprime attraverso il concetto di limite che "matematizza" quello che abbiamo detto a parole nel modo seguente:

$$ \large S(f) = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i\Bigr) $$ $$ S(f) = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i\Bigr) $$ $$ \small S(f) = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i\Bigr) $$ Se questo limite esiste finito \( < \infty \), cioè il risultato converge ad un numero reale, allora la funzione è integrabile sull'intervallo \( [a, b]\). In altre parole, la formula esprime il seguente fatto: Ogni volta che scelgo un valore "soglia d'errore di approssimazione" \( \epsilon > 0\) esisterà una particolare somma di Riemann \( S_k \), (cioè una scomposizione), che renderà l'errore commesso inferiore alla soglia d'errore, se questo accade per ogni \( \epsilon \) sempre "più piccolo", allora la funzione è integrabile.

$$ \large \forall \mathbb R \ni \epsilon>0, \hspace{2mm} \exists k \in \mathbb R \hspace{1mm} | \hspace{2mm} \left|\sum_{i=1}^k f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i \Bigr)\right| < \epsilon $$ $$ \forall \mathbb R \ni \epsilon>0, \hspace{2mm} \exists k \in \mathbb R \hspace{1mm} | \hspace{2mm} \left|\sum_{i=1}^k f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i \Bigr)\right| < \epsilon $$ $$ \forall \mathbb R \ni \epsilon>0, \hspace{2mm} \exists k \in \mathbb R \hspace{1mm} | \\ \left|\sum_{i=1}^k f(\xi_i)\cdot mis\Bigl(\mathbb I_i \Bigr)\right| < \epsilon $$

I matematici, in particolare Leibnitz, invece di scrivere ogni volta la formula piena di indici, in alto, hanno deciso di inventarsi un simbolo speciale, una "esse allungata" o "stilizzata" \( \int \), che ricorda un pò il procedimento di "estensione di una somma \( \Sigma \rightarrow \int \)". Quindi il valore del limite, o meglio l'integrale di Riemann della funzione \( f\) sull'intervallo \( [a, b]\) ( i matematici amano dire "esteso" all'intervallo \([a, b]\) ); si indica: $$ \color{#cd177a}{\Large \int_a^b f(x)dx} $$ Nelle prossime pagine richiameremo alcune delle principali caratteristiche di questo bellissimo strumento che ogni matematico ha a disposizione.

$$ \diamond $$
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