Continuità

L'uniforme continuità è un concetto apparentemente sofisticato, ma fondamentalmente semplice ed intuitivo.

GLI INGREDIENTI DELLA CONTINUITA'

\( [\mathrm X_1, d_{\mathrm X_1}] \)
uno spazio metrico di partenza
\( \mathrm A \subseteq [\mathrm X_1, d_{\mathrm X_1}] \)
un sottoinsieme di \( \mathrm X_1 \)
\( [\mathrm X_2, d_{\mathrm X_2}] \)
uno spazio metrico di arrivo
\( x_0 \in \mathrm A \)
un punto di \( \mathrm A\)
\( f: \mathrm X_1\rightarrow \mathrm X_2 \)
una funzione tra spazi metrici
\( \mathrm S, \mathrm S' \)
Due sfere topologiche aperte

La funzione \( f\) è continua su \( \mathrm X_1 \) se : Per ogni sfera \( \mathrm S' \) contenuta in \( \mathrm X_2 \) e contenente \( f(x_0) \) (di raggio arbitrario, l'importante che contenga \( f(x_0\)), esiste un'altra sfera aperta \( \mathrm S \subseteq \mathrm X_1\) tale per cui \( f(x) \in \mathrm S' \) quando \( x \in \mathrm S \cap A \)


Stiamo semplicemente imponendo che se sono vicino ad \( x_0\) nello spazio \( \mathrm X_1 \) (le sfere servono ad identificare una zona o intorno dello spazio), allora le immagini \( f(x) \) sono anch'esse vicine ad \( f(x_0) \) nello spazio \(\mathrm X_2\). A piccole variazioni nel dominio corrispondono piccole variazioni nel codominio. Nulla di nuovo rispetto al caso reale dell'analisi UNO, stiamo semplicemente estendendo il concetto nel formalismo degli spazi metrici.

Questo è quanto accade nei pressi di un punto \( x_0 \in \mathrm A \). Se questa definizione vale per ciscun punto di \(\mathrm A\), allora chiaramente si dice che \( f\) è continua su tutto \( \mathrm A\).

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