Definizione di limite in più variabili

Se avete in mente l'idea di limite dell'analisi 1 (quella per funzioni ad una sola variabile reale), allora scoprirete che la definizione in più variabili non è nulla di nuovo. Si tratta di estendere il concetto, invece che su intorni lineari, su intorni (palle) a più dimensioni.

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Il problema dei limiti a più dimensioni

I limiti a più dimensioni, sono molto "inclini a non esistere". Più che un problema, per molti può essere una buona cosa, in quanto se il limite non esiste la storia finisce lì, non ci si deve sbattere la testa alla risoluzione. Come esempio tipico, se prendiamo la funzione \( f: (x, y) \rightarrow {x^2 \over x^2 + y^2} \) abbiamo che:

$$ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \left( {x^2 \over x^2 + y^2} \right) = \begin{cases} 0 \iff x = 0 \\ 1 \iff y = 0 \\ {1\over 2} \iff x = y \end{cases} $$


Come vedete questo limite assume tre valori differenti. RIcorderete sicuramente dai corsi di Analisi UNO, che se un limite esiste, necessariamente devono esistere i limiti destro e sinistro. Analogamente in più dimensioni, l'esistenza di un limite implica che esso esista per qualunque percorso scelto della variabile indipendente verso il punto d'accumulaizone.

Per definire il limite abbiamo bisogno di tre cose:

Esistono diversi comportamenti del limite. Può darsi che esso diverga a \( \pm\infty \) o che converga ad un valore (vettore) finito \( l \in \mathbb R^n \). Nelle prossime pagine vedremo queste definizioni più in dettaglio.

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