Definizione di limite all'infinito

Detto in parole semplici, un limite tende a \( \infty \) quando, più ci avviciniamo al nostro punto di accumulazione e più la funzione assume valori "estremi". Scriviamolo in formule correttamente distinguendo i due casi (\(+\infty, -\infty\)):

Limite a \( +\infty \)
$$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}} f(\vec{x}) = +\infty \Leftrightarrow \forall M\in\mathbb R, \exists \delta_{M} > 0, t.c. ||x-x_0||_{\mathbb R^n} < \delta \Rightarrow f > M $$ $$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}} f(\vec{x}) = +\infty \Leftrightarrow \forall M\in\mathbb R, \exists \delta_{M} > 0, t.c. ||x-x_0||_{\mathbb R^n} < \delta \Rightarrow f > M $$ $$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}} f(\vec{x}) = +\infty \Leftrightarrow \forall M\in\mathbb R, \\ \exists \delta_{M} > 0, t.c. ||x-x_0||_{\mathbb R^n} < \delta $$ $$ \Downarrow $$ $$ f > M $$ Per capire la definizione, cerchiamo di rappresentare il tutto graficamente su un esempio, come al solito bidimensionale. La figura in basso mostra il grafico della funzione \( \frac{1}{x^2+y^2} \)

fig.1: Punto sulla chiusura. Comunque scelgo un raggio piccolo a piacere una parte della palla si intersecherà sempre con l'insieme \( \mathbb D\).

fig.2: Punto non sulla chiusura. Osservate come è semplice scegliere un raggio in modo che l'intersezione tra la palla e l'insieme \( \mathbb D\) sia il vuoto.

Come si osserva ogni volta che scegliamo un "tetto" (valore \(M\)) per la funzione, riusciamo sempre a trovare un raggio \( \delta_{M}\) in modo tale che per tutti i valori all'interno della palla (intorno circolare) la funzione supera il valore di \( M \).
$$ \diamond $$
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