Continuità uniforme

L'uniforme continuità è un concetto apparentemente sofisticato, ma fondamentalmente semplice ed intuitivo.

GLI INGREDIENTI DELLA UNIFORME CONTINUITA'

\( [\mathrm X_1, d_{\mathrm X_1}] \)
uno spazio metrico di partenza
\( [\mathrm X_2, d_{\mathrm X_2}] \)
uno spazio metrico di arrivo
\( f: \mathrm X_1\rightarrow \mathrm X_2 \)
una funzione tra spazi metrici

Allora, la funzione \( f\) è uniformemente continua su \( \mathrm X_1 \) se vale: $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+, \exists \delta_\epsilon \in \mathbb R^+, t.c: d_{\mathbb X_2}(f(x), f(y)) < \epsilon \forall x, y \in \mathrm X_1, d_{\mathbb X_1}(x, y) < \delta_\epsilon $$ $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+, \exists \delta_\epsilon \in \mathbb R^+, t.c: d_{\mathbb X_2}(f(x), f(y)) < \epsilon \forall x, y \in \mathrm X_1, d_{\mathbb X_1}(x, y) < \delta_\epsilon $$ $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+, \exists \delta_\epsilon \in \mathbb R^+, t.c: \\ d_{\mathbb X_2}(f(x), \\ f(y)) < \epsilon \\ \forall x, y \in \mathrm X_1, d_{\mathbb X_1}(x, y) < \delta_\epsilon $$

Non abbiate paura di questa definizione! E' una cosa assolutamente semplice, forse scritta in un linguaggio complesso, ma come è lecito, in matematica il linguaggio deve essere assolutamente rigoroso e non ambiguo. Vediamo intuitivamente cosa significa. Sostanzialmente dice questo:

Presa una funzione da \( \mathbb X_1\) in \( \mathbb X_2\), ogni qualvolta scelgo un "valore soglia" \( \epsilon \), riesco sempre a trovare due valori \( x, y\) \in \( \mathbb X_1\) in modo che se la distanza in \( \mathbb x_1\) è minore di un \( \delta_\epsilon \), la distanza tra le immagini \( f(x), f(y) \) di \( f\), è minore di \( \epsilon \).

E' una definizione poco più generica della semplice continuità dell'analisi UNO, in cui gli spazi di "partenza" ed "arrivo" non coincidono.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
I teoremi della continuità uniforme

Per la continuità uniforme, valgono alcuni teoremi di cui daremo le dimostrazioni in seguito.

$$ \diamond $$
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