Completamento isometrico di spazi

Abbiamo visto che per uno spazio metrico, esiste la proprietà di completezza, che ne caratterizza la natura alla "Banach" per cui è possibile definire perlomeno il concetto di limite. Può accadere, tuttavia, che uno spazio metrico non sempre sia completo (esistono dei casi particolari), in ogni caso possiamo "completare" lo spazio aggiungendo ciò che manca.

Supponiamo che lo spazio \( (\mathbb X, d) \) sia "incompleto"; allora, sicuramente esiste uno spazio metrico completo \( (\hat{\mathbb X}, \hat{d}) \) tale per cui vi è almeno un sottospazio metrico "isometrico" ad \( (\mathbb X, d) \). Lo spazio \( (\hat{\mathbb X}, \hat{d}) \) si chiama completamento isometrico.


L'isometria, la possiamo vedere come una corrispondenza tra gli spazi: \(f: (\mathbb X, d) \rightarrow (\hat{\mathbb X}, \hat{d}) \). Ad ogni elemento dello spazio incompleto, associa un elemento del sottospazio metrico, in più, si ha il "completamento".

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