Completezza

In uno spazio metrico è possibile definire un concetto di estrema importanza. La completezza. Intuitivamente uno spazio metrico è completo quando ogni successione di punti converge nello stesso spazio ad un valore limite, nel senso che la distanza tra i valori della successione el il limite tende a zero. Cerchiamo ora di descrivere il tutto matematicamente

Successioni di Cauchy

Per capire la completezza abbiamo bisogno di un unico ingrediente: La successione di Cauchy. Prima però bisogna che voi capiate necessariamente il concetto di successione convergente.

Consideriamo uno spazio metrico \( \langle \mathrm X, d \rangle \). In questo spazio consideriamo una successione di numeri \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \). La successione si dice convergente se esiste un valore speciale \( \hat x \in \mathrm X\) tale per cui $$\large \lim_{n \to \infty}|x_n - \hat x| = 0 $$

Come potete intuire la cosa è molto banale, da visualizzare, l'unica cosa importante che dovete avere ben chiaro è che la distanza nel limite, è la metrica dello spazio in questione, che cambia da spazio in spazio. Detto questo, una successione si dice di Cauchy se vale: $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+ \exists \hat n_\epsilon \in \mathbb N | d(x_n, x_{n+1}) < \epsilon, \forall n > n_\epsilon $$ $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+ \exists \hat n_\epsilon \in \mathbb N | d(x_n, x_{n+1}) < \epsilon, \forall n > n_\epsilon $$ $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+ \exists \hat n_\epsilon \in \mathbb N | d(x_n, x_{n+1}) < \epsilon $$ $$\forall n > n_\epsilon $$ Cosa ci dice questa definizione? Una cosa banale! La distanza tra due termini contigui della successione tende a \( 0\), detto in altre parole: i punti della successione si "addensano" per \( n \to \infty \)

Spazio metrico completo

Uno spazio metrico è completo quando tutte le successioni di Cauchy convergono in esso

Esempi di spazi metrici completi

$$ \Large \mathbb \langle R^n, \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \rangle \hspace{5mm} \langle \mathbb C, |z - w| \rangle \hspace{5mm} \mathbb C^n \hspace{5mm} \mathbb L^p $$ $$ \Large \mathbb \langle R^n, \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \rangle \hspace{5mm} \langle \mathbb C, |z - w| \rangle \hspace{5mm} \mathbb C^n \hspace{5mm} \mathbb L^p $$ $$ \large \mathbb \langle R^n, \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \rangle \hspace{5mm} \langle \mathbb C, |z - w| \rangle $$ $$ \Large \mathbb C^n \hspace{5mm} \mathbb L^p $$

$$ \diamond $$
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