Sottospazio metrico denso

Prendiamo due spazi metrici \( \langle W, d_x \rangle\) e \( \langle W, d_w \rangle\), in generale con metriche differenzti. Supponiamo che valga la seguente inclusione $$ \langle W, d_x \rangle \subseteq \langle W, d_w \rangle $$ Ossia che lo spazio su \(\mathrm W\) è sottospazio dello spazio su \( \mathrm X \). Allora il sottospazio si dice "denso" su \( \mathrm X\) se: $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+, \forall x \in \mathrm X, \exists w \in \mathrm W t.c. d(x, w) < \epsilon $$ $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+, \forall x \in \mathrm X, \exists w \in \mathrm W t.c. d(x, w) < \epsilon $$ $$ \forall \epsilon \in \mathbb R^+, \forall x \in \mathrm X $$ $$ w \in \mathrm W t.c. d(x, w) < \epsilon $$

Intuitivamente la definizione significa questo: Per qualunque punto \( x\) scelto nel "sovraspazio", c'è sempre un punto \( y\) nel sottospazio vicino ad \( x\), per qualunque soglia d'errore \( \epsilon \). Detto in altri termini, "vicino" ad ogni punto del sovraspazio ci sono punti del sottospazio La figura mostra quanto espresso:

$$ \diamond $$
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