Spazio metrico

In uno spazio metrico esiste il concetto di distanza, quindi si possono misurare le lunghezze. Se volete costruirvi il vostro spazio metrico, vi serve solo ed esclusivamente la distanza, una funzione che ad ogni coppia di oggetti di questo insieme \( \mathbb X\), associa un numero reale positivo: $$ dist(\cdot, \cdot): \mathbb X \times \mathbb X \rightarrow \mathbb R^{\geq} $$ La distanza deve soddisfare 4 proprietà elementari che vi riporto di seguito:


  • \( dist(x, y) > 0, \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X \)

    POSITIVITA': Una distanza è sempre un numero positivo o nullo. Non avrebbe senso fisico, definire una distanza negativa!

  • \( dist(x, y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X \)

    DISTANZA NULLA: La distanza tra due punti è nulla se e solo se i due punti coincidono.

  • \( dist(x, y) = dist(y, x), \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X \)

    SIMMETRIA: La distanza è un concetto indipendente dal punto di vista. Essa non ha un verso.

  • \( d(x, z) + d(z, y) \leq dist(x, y), \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X, \forall z \in \mathbb X, \)

    DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: La disuguaglianza esprime il fatto che in un triangolo, ogni lato è sempre minore della somma degli altri due.

  • \( dist(x, y) > 0, \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X \)

    POSITIVITA': Una distanza è sempre un numero positivo o nullo. Non avrebbe senso fisico, definire una distanza negativa!

  • \( dist(x, y) = 0 \Leftrightarrow x=y, \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X \)

    DISTANZA NULLA: La distanza tra due punti è nulla se e solo se i due punti coincidono.

  • \( dist(x, y) = dist(y, x), \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X \)

    SIMMETRIA: La distanza è un concetto indipendente dal punto di vista. Essa non ha un verso.

  • \( d(x, z) + d(z, y) \leq dist(x, y), \hspace{5mm} \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X, \forall z \in \mathbb X, \)

    DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: La disuguaglianza esprime il fatto che in un triangolo, ogni lato è sempre minore della somma degli altri due.

$$ dist(x, y) > 0 $$ $$ \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X $$

POSITIVITA': Una distanza è sempre un numero positivo o nullo. Non avrebbe senso fisico, definire una distanza negativa!

$$ dist(x, y) = 0 \Leftrightarrow x=y $$ $$ \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X $$

DISTANZA NULLA: La distanza tra due punti è nulla se e solo se i due punti coincidono.

$$ dist(x, y) = dist(y, x) $$ $$ \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X $$

SIMMETRIA: La distanza è un concetto indipendente dal punto di vista. Essa non ha un verso.

$$ d(x, z) + d(z, y) \leq dist(x, y) $$ $$ \forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb X, \forall z \in \mathbb X, $$

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: La disuguaglianza esprime il fatto che in un triangolo, ogni lato è sempre minore della somma degli altri due.


Per indicare uno spazio metrico, bisogna quindi, indicare l'insieme degli elementi e la distanza; di solito si usa una coppia di parentesi tonde: $${\large (\mathbb X, d)}$$

$$ \diamond $$
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