Spazi di funzioni e successioni

Uno spazio metrico, non è detto sia uno spazio di ennuple. Di vettori fatti di frecce di punti geometrici visibili ecc. Qualunque ente matematico e geometrico che sia, tale per cui sia possibile definirne una distanza che soddisfi alle \( 4\) proprietà elencate è uno spazio metrico. A tal proposito, anche uno spazio i cui elementi sono delle funzioni può avere una struttura metrica. Si tratta di un processo di astrazione tipico della matematica, fondamentale ad esempio in meccanica quantistica. Vediamo come sia possibile definire una distanza in questi spazi.

Consideriamo tutte le funzioni continue definite su un insieme compatto \( [a, b]\). Questo insieme si indica tipicamente come: \( \mathrm C_{[a, b]} \). Consideriamo due funzioni: $$ f \in \mathrm C_{[a, b]}, \hspace{5mm} g \in \mathrm C_{[a, b]} $$ E' facile dimostrare che esiste una distanza tra due funzioni e che essa conferisce a \( \mathrm C_{[a, b]} \) la struttura di spazio metrico; questa distanza è: $${\large dist(f, g)_{\mathrm C_{[a, b]}} = \mathop{\Large \mathrm max}_{[a, b]} |f-g| }$$

La distanza tra due funzioni, è quindi, il massimo valore che si ottiene calcolando la distanza tra ogni coppia di immagini tra le due funzioni. Graficamente:

Vi faccio osservare come si sarebbe potuto scegliere come distanza anche il valore minimo, anziché il massimo, oppure un altro qualunque valore valido per la distanza, noi comunque scegliamo il massimo per una questione di comodità.

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Funzioni derivabili n volte

Consideriamo un altro esempio di metrica in uno spazio dove gli "oggetti" sono funzioni. In particolare consideriamo lo spazio delle funzioni "derivabili" \( n\) volte su \( [a, b]\) con derivata ennesima continua. Le funzioni che hanno questa proprietà si dicono di classe \( C^{(n)} \) e lo spazio metrico dotato della seguente distanza si indica con: \( \mathrm C^{(n)}_{[a, b]} \). $$ d(f, g) = \mathop{sup}_{1 \le k \le n}\left\{|f^{(k)}(x) - g^{(k)}(x) |, \hspace{2mm} x \in [a, b] \right\} $$ $$ d(f, g) = \mathop{sup}_{1 \le k \le n}\left\{|f^{(k)}(x) - g^{(k)}(x) |, \hspace{2mm} x \in [a, b] \right\} $$ $$ d(f, g) $$ $$\downarrow $$ $$ \mathop{sup}_{1 \le k \le n}\left\{|f^{(k)}(x) - g^{(k)}(x) |, \hspace{2mm} x \in [a, b] \right\} $$

$$ \diamond $$
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