La disuguaglianza di Hölder

La disuguaglianza di Hölder caratterizza gli spazi di successioni \( \mathbb L^p\). Rappresenta l'analogo della disuguaglianza di Schwartz, solo che gli elementi non sono vettori canonici, ma successioni.

Consideriamo due successioni. La prima \( \{x_j\}_{j\in \mathbb N} \in \mathbb L^p \) e la seconda: \( \{y_j\}_{j\in \mathbb N} \in \mathbb L^q \). Allora vale la seguente disuguaglianza:

$$ \sum_{n=1}^\infty |\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\{y_m\}_{m\in \mathbb N}| \le \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |\{x_n\}_{n\in \mathbb N}|^p } \sqrt[q]{\sum_{n=1}^\infty |\{y_m\}_{m\in \mathbb N}|^q } $$ $$ \sum_{n=1}^\infty |\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\{y_m\}_{m\in \mathbb N}| \le \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |\{x_n\}_{n\in \mathbb N}|^p } \sqrt[q]{\sum_{n=1}^\infty |\{y_m\}_{m\in \mathbb N}|^q } $$ $$ \sum_{n=1}^\infty |\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\{y_m\}_{m\in \mathbb N}| \le $$ $$ \small \le \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |\{x_n\}_{n\in \mathbb N}|^p } \sqrt[q]{\sum_{n=1}^\infty |\{y_m\}_{m\in \mathbb N}|^q } $$

Il significato intuitivo della formula è il seguente: La somma dei prodotti delle successioni (membro a sinistra) è sempre minore del prodotto del prodotto delle distanze.

$$ \diamond $$
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