Lo spazio euclideo \( \mathbb R^n \)

Un primo esempio di spazio metrico è lo spazio delle colonne \( \mathbb R^n \) ad \( n\) dimensioni, visto più volte sia in algebra lineare che in analisi in generale. In questo spazio, è possibile definire una distanza tra due punti (vettori n-dimensionali) nel modo seguente:

Lo spazio \( \mathbb R^n\) può essere visto, anzi, si ottiene come il prodotto cartesiano di \( \mathbb R\) con se stesso \(n\) volte: \( \mathbb{R\times R\times \ldots \times R}\). Gli elementi di \( \mathbb R^n\), sono ennuple ordinate di numeri reali, quindi in esse conta l'ordine nel senso che una ennupla non è un insieme.

Consideriamo due punti di \( \mathbb R^n\). Ad esempio: \( x \in \mathbb R^n\) ed \( y \in \mathbb R^n\). $$ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n), \hspace{4mm} y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) $$ $$ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n), \hspace{4mm} y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) $$ $$ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) $$ $$ y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) $$ Si ha naturalmente come già detto: $$ x_i \in \mathbb R, \hspace{4mm} y_i \in \mathbb R, \hspace{4mm} i = [1, \ldots, n] $$ Allora la distanza o metrica tra \( x\) ed \( y\) è data dalla seguente formula: $${\large dist(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n \Bigl( x_i - y_i\Bigr)^2 }}$$

La validità delle proprietà della distanza

E' facile dimostrare, che tutte le proprietà enunciate all'inizio sono soddisfatte da questa formula, che prende il nome di metrica euclidea e lo spazio \(\mathbb R^n\) è uno spazio euclideo \( n\)-dimensionale. Il nome "euclideo", si evince dalla formula stessa. Guardatela attentamente! Cosa vi ricorda? E si... si tratta di una sorta di "pitagorone a più dimensioni", è una somma di quadrati generalizzata a spazi n-dimensionali. La figura in basso mostra graficamente quanto detto.

Negli spazi "euclidei", vale sempre il Teorema di Pitagora, che sia banale (esempio in \(\mathbb R^2 \), o generalizzato (nell'esempio), esso è la "carta d'identità" di uno spazio in cui la geometria è piatta. Negli spazi, "curvi", che vedremo in geometria differenziale riemanniana, il Teorema di Pitagora, perde il suo significato, e lo spazio ha una geometria non euclidea.

\( \mathbb R^n \) caratterizza tutti gli spazi piatti con cui abbiamo a che fare sin da piccoli. Quando \( n=1\) siamo in presenza della famosissima retta reale, quando \( n=2\) abbiamo il nostro piano euclideo B-dimensionale, per \( n = 3\) lo spazio euclideo 3D ecc... . Gli esempi in basso mostrano gli spazi e le relative metriche, fino ad \( n=3\). Esse, in ogni caso, sono delle scelte arbitrarie che possono variare in generale.

Distanza euclidea unidimensionale$$ dist(x, y)_{\mathbb R} = \sum_{i=1}^1(x_i-y_i)^2 = |x-y| $$
Distanza euclidea bidimensionale$$ dist(x, y)_{\mathbb R^2} = \sum_{i=1}^2(x_i-y_i)^2 $$
Distanza euclidea tridimensionale$$ dist(x, y)_{\mathbb R^3} = \sum_{i=1}^3(x_i-y_i)^2 $$
$$ \diamond $$
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