Spazi di successioni

Un altro esempio caratteristico, sono gli spazi di sucessioni. Ogni elemento, di questo spazio è una successione. Si intende, che le successioni sono convergenti, altrimenti la distanza sarebbe infinita.

L'insieme di tutte le successioni reali convergenti, lo indichiamo con il simbolo \( \mathrm{X_{\mathbb R}}\). Prendiamo due successioni appartenenti a questo insieme: \( \{x_j\}_{j\in \mathbb N} \) ed \( \{y_j\}_{j\in \mathbb N} \)

Definiamo la metrica in questo spazio, tra due successioni come: $$ d(\{x_j\}_{j\in \mathbb N}, \{y_j\}_{j\in \mathbb N})_{\mathrm{X_{\mathbb R}}} = \mathop{sup}_{n\in \mathbb N}\left\{ |\{x_j\}_{j\in \mathbb N} - \{y_j\}_{j\in \mathbb N} | \right\} $$ $$ d(\{x_j\}_{j\in \mathbb N}, \{y_j\}_{j\in \mathbb N})_{\mathrm{X_{\mathbb R}}} = \mathop{sup}_{n\in \mathbb N}\left\{ |\{x_j\}_{j\in \mathbb N} - \{y_j\}_{j\in \mathbb N} | \right\} $$ $$ d(\{x_j\}_{j\in \mathbb N}, \{y_j\}_{j\in \mathbb N})_{\mathrm{X_{\mathbb R}}} $$ $$\downarrow $$ $$ \mathop{sup}_{n\in \mathbb N}\left\{ |\{x_j\}_{j\in \mathbb N} - \{y_j\}_{j\in \mathbb N} | \right\} $$

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Spazi \( \mathbb L^p \)

Sugli spazi \( L^p \) ne discuteremo più avanti. A questo punto mi limiterò solo ad accennare alla metrica senza entrare troppo ne dettaglio.

Consideriamo l'insieme di tutte le successioni di potenze di grado \( p \in \mathbb R^{>1} \), reali o complesse, convergenti in modulo \( \sum_{n=1}^\infty |\{x_j\}_{j\in \mathbb N}|^p \)

Definiamo su queto insieme la seguente metrica $$ d(\{x_j\}_{j\in \mathbb N}, \{y_j\}_{j\in \mathbb N})_{\mathrm{X^p_{\mathbb R}}} = \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty|\{x_j\}_{j\in \mathbb N} - \{y_j\}_{j\in \mathbb N} |^p} $$ $$ d(\{x_j\}_{j\in \mathbb N}, \{y_j\}_{j\in \mathbb N})_{\mathrm{X^p_{\mathbb R}}} = \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty|\{x_j\}_{j\in \mathbb N} - \{y_j\}_{j\in \mathbb N} |^p} $$ $$ d(\{x_j\}_{j\in \mathbb N}, \{y_j\}_{j\in \mathbb N})_{\mathrm{X^p_{\mathbb R}}} $$ $$\downarrow $$ $$ \sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty|\{x_j\}_{j\in \mathbb N} - \{y_j\}_{j\in \mathbb N} |^p} $$

Si dimostra che questa metrica soddisfa a tutte le proprietà della distanza. Gli spazi in cui è definita questa metrica, sono comunemente noti con il nome: Spazi \( \mathbb L^p\) e sono degli spazi di Hilbert (in questo caso di successioni), ma più in generale di funzioni.

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