Definizione intrinseca circuitazionale

Nel paragrafo precedente vi ho descritto il rotore nella sua forma "cartesiana", ossia conoscendo le coordinate cartesiane del campo vettoriale (le funzioni coordinate), attraverso quel trucchetto del determinante, si determinano le coordinate del rotore. In questo paragrafo vi do la definizione intrinseca (senza coordinate) del rotore (a livello infinitesimo). Questa definizione fa riferimento al concetto di circuitazione e pertanto è detta talvolata "definizione circuitazionale".

Riprendiamo, il nostro generico campo vettoriale \( \mathrm E = \mathrm E(x, y, z) \). Calcolare il rotore (o il vortice) significa valutare localmente le cosiddette "circuitazioni infinitesime" ossia se il campo ruota in un intorno di un dominio spaziale. Definiamo a tal punto un'areola di area \( \Delta S \) e normale \( \hat{n} \), con la convenzione che le rotazioni antiorarie sono positive e quelle orarie negative. La normale è semplicemente un vettore perpendicolare all'areola.


Definiamo rotazione infinitesima il rapporto tra la circuitazione sul bordo dell'areola diviso la sua area quando questa tende a zero. $$ {\large \langle \mathrm{rot(E)}, \hat{n} \rangle = \lim_{\Delta S \to 0} {\oint_{\partial(\gamma)}\langle\tau, d\gamma\rangle \over \Delta S}} $$ Questa definizione, vale localmente ed esprime analiticamente il rotore. Essa misura con un valore numerico la rapidità di rotazione angolare in presenza di rotazioni o vortici del campo in un punto.

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