Perché le coordinate curvilinee

Le coordinate curvilinee sono una generalizzazione del classico sistema di coordinate cartesiano rettangolare. Le introduciamo per due semplici motivi: il primo è che in fisica, ed in generale nelle applicazioni della matematica, è tipico impiegare una descrizione di un modello nel modo più naturale possibile - ad esempio quando si studiano i campi centrali è più conveniente utilizzare il raggio e l'angolo, che le proiezioni sugli assi, e si parla di coordinate polari e più in generale la scelta diu set di coordinate deve essere arbitraria. Il secondo motivo è che questi argomenti non vengono trattati quasi mai nei corsi, e quando vi ritroverete alle prese con le espressioni del rotore, piuttosto che del laplaciano in coordinate sferiche e polari, saranno guai seri!

A tal proposito, questo capitolo va visto come un completamento del capitolo sugli operatori differenziali. In questa sezione vedremo come ricavare le espressioni nei sistemi di coordinate più comuni: (cilindriche, sferiche, polari) le espressioni degli operatori: (rotore, divergenza, laplaciano e gradiente)

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Sistema di coordinate curvilinee

Iniziamo partendo dal nostro sistema a noi noto \( \mathbb R^3\). In questo sistema un punto \( P\) è identificato da una terna di numeri reali (le coordinate cartesiane) \( (x, y, x)\). Per noi questo sistema verrà chiamato: il sistema \( \mathrm{xyz} \). Consideriamo un altro sistema di coordinate \(\mathrm{uvw} \). In questo nuovo sistema, un punto \( Q \) è identificato da altri tre numeri \( (u, v, w) \) diversi.

Se esiste una trasformazione localmente biunivoca che fa corrispondere ad ogni punto \( Q\) nel sistema \(\mathrm{uvw} \) un punto \( P\) del sistema \(\mathrm{xyz} \), allora abbiamo definito un set dicoordinate curvilinee per \( P\). Osservate che dal punto di vista di \( Q\) le coordinate \( (u, v, w)\) sono cartesiane.

$$ \Phi: \begin{cases} x = x(u, v, w) \\ y = y(u, v, w) \\ z = z(u, v, w) \end{cases} $$ $$ \diamond\diamond\diamond $$
Trasformazione localmente continua

La trasformazione \( \Phi \), in generale puù far corrispondere a punti differenti \( Q_1\) e \( Q_2\) nel sistema \(\mathrm{uvw} \) lo stesso punto \( P\) nel sistema \(\mathrm{xyz} \). Noi richiediamo che la trasformazione sia biunivoca "localmente" quindi per sottoinsiemi "abbastanza piccoli" non ci sia questa multivocità nella trasformazione.

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