Tangenza sulle curve coordinate

Quando due superfici coordinate si intersecano, esse formano una curva coordinata. Consideriamo il vettore posizione (raggio vettore \( r\) ) applicato nell'origine con estremo in un qualunque punto dello spazio. Possiamo esprimere tale vettore in funzione di \( u, v, w \): $$ \vec{r} = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w\end{pmatrix}\hat{x} + \begin{pmatrix} u \\ v \\ w\end{pmatrix}\hat{y} + \begin{pmatrix} u \\ v \\ w\end{pmatrix}\hat{z}

Adesso facciamo la seguente cosa: restringiamoci ad una curva coordinata (ad esempio, mantenendo bloccate le variabili \( v = v_0\) e \( w = w_0 \) e lasciando \( u\) libera di variare ), allora il raggio vettore $$ \vec{r} = \vec{r}(u, v_0, w_0) $$ punta (il suo estremo libero) alla curva coordinata, cioè esso descrive la posizione di un punto matriale sulla "traiettoria coordinata". Domanda? Qual è la sua derivata? Naturalmente essendo le componenti "funzioni di tre variabili", è più lecito parlare di derivata parziale: ossia: $$ {\partial r \over \partial u} = {\partial x\over \partial u}\hat{x} + {\partial y\over \partial u}\hat{y} + {\partial z\over\partial u}\hat{z}

E' chiaramente, tangente alla curva coordinata (ne rappresenta la velocità). Lo stesso discorso vale se derivo rispetto a \( v\) e \( w\).

Fattori di scala

Le norme dei vettori tangenti in un punto \( P\) sono i fattori di scala associati al sistema di coordinate curvilineo

$$ \begin{cases} \Vert {\partial r\over \partial u} \Vert = h_u \\ \Vert {\partial r\over \partial v} \Vert = h_v \\ \Vert {\partial r\over \partial wu} \Vert = h_w \end{cases} $$
$$ \diamond $$
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