Gradiente di un campo scalare

Il primo operatore fondamentale che introduciamo è il gradiente. Consideriamo un campo scalare \( \Phi \). Un campo scalare, vi ricordo, è una funzione \( \Phi : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R\). Il gradiente si ottiene quando si applica l'operatore nabla al campo \( \Phi \).

Se infatti proviamo ad applicare, secondo la definizione di nabla, avremo che: $$ \nabla\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \Phi}{\partial z}\hat{k} = \mathrm{grad}(\Phi) $$ Il gradiente è quindi un vettore che dipende dalla posizione nello spazio. A ciascun punto dello spazio, è associato il vettore gradiente. Questo vettore è la somma di tre contributi vettoriali lungo le direzioni canoniche; e le componenti sono le derivate parziali di \(\Phi\).

Il gradiente è quindi la somma vettoriale dei vettori componenti i cui coefficienti sono le derivate parziali prime di \(\Phi\) stesso. In generale il gradiente esteso ad un campo ad \( n\) dimensioni assume la seguente forma: $${\large (\nabla\Phi)_{\mathbb R^n} = \sum_{i=1}^n {\partial \Phi \over \partial x_i}\hat{e_i} }$$

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