Laplaciano

Il Laplaciano (operatore di Laplace) rispetto ai tre operatori di base: gradiente, divergenza e rotore ha due caratteristiche non da poco che lo rendono particolarmente potente per rappresentare buona parte delle equzioni alle derivate parziali che vedremo poi in altri capitoli. Da una parte, esso è un operatore quadratico (perchè in esso compaiono potenze di \(2\) ), dall'altra esso si presenta in due versioni (scalare e vettoriale)

L'espressione dell'operatore Laplaciano Scalare è:

$$ \nabla^2\Phi = \Delta\Phi = {\partial^2\Phi \over \partial x^2} + {\partial^2\Phi \over \partial y^2} + {\partial^2\Phi \over \partial z^2} $$

Questo operatore, "opera" (in input) su un campo scalare e restituisce (in output) un altro campo scalare. Questa espressione si riferisce ad un campo di \( \mathbb R^3\), quindi vedete, è la somma di tre termini. In generale in uno spazio ad \( n\) dimensioni, (es: \(\mathbb R^n \) ) il laplaciano scalare assume la seguente espressione: $${\large \mathrm{Lap}(\Phi) = \nabla^2\Phi = \sum_{i=1}^n{\partial^2\Phi \over \partial x_i^2} }$$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
Il Laplaciano come divergenza del gradiente

Il laplaciano gode della seguente proprietà: $$ \nabla^2\Phi = \langle \nabla, \nabla\Phi \rangle = \mathrm{div}(\mathrm{grad}(\Phi)) $$ Ossia: il laplaciano è pari alla divergenza del gradiente. Cerchiamo di intuirne dapprima il significato fisico, e poi dimostriamo la formula matematicamente.

Anzitutto: è lecito fare la divergenza di un gradiente? Si, è lecito; infatti il gradiente opera su un campo scalare è restituisce un campo vettoriale, la divergenza opera su un campo vettoriale e restituisce un campo scalare. $$ (\Phi) \rightarrow \overset{grad\Phi}{\overbrace{\nabla(\Phi)}} \rightarrow \overset{Lap\Phi}{\overbrace{\mathbb{div(\nabla(\Phi))}}} $$

$$ \heartsuit $$

Vediamo la dimostrazione della divergenza del gradiente Partiamo dal campo scalare \( \Phi = \Phi(x, y, z)\); come sempre suppongo \( \Phi \in \mathbb R^3 \) (campo tri-scalare "3D") senza perdita di generalità. Calcoliamoci il gradiente di \( \Phi\).

$$ \nabla(\Phi) = \begin{pmatrix} \nabla\Phi_x \\ \nabla\Phi_y \\ \nabla\Phi_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix}$$

Il gradiente è la somma delle derivate parziali estese alla base dello spazio \( \mathbb R^3\). Ora applichiamo la divergenza. $$ \mathrm{div}(\nabla\Phi) = \mathrm{div} \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^3 \left( {\partial\left({\Phi x_i \over x_i}\right) \over \partial x_i} \right) = $$ $$ = {\partial \over \partial x}\left( {\partial \Phi \over \partial x} \right)+ {\partial \over \partial y}\left({\partial \Phi \over \partial y} \right) + {\partial \over \partial z}\left({\partial \Phi \over \partial z}\right) = {\partial^2\Phi \over \partial x^2} + {\partial^2\Phi \over \partial y^2} + {\partial^2\Phi \over \partial z^2} = \nabla^2\Phi \hspace{4mm}_\square$$ $$ \mathrm{div}(\nabla\Phi) = \mathrm{div} \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^3 \left( {\partial\left({\Phi x_i \over x_i}\right) \over \partial x_i} \right) = $$ $$ = {\partial \over \partial x}\left( {\partial \Phi \over \partial x} \right)+ {\partial \over \partial y}\left({\partial \Phi \over \partial y} \right) + {\partial \over \partial z}\left({\partial \Phi \over \partial z}\right) = {\partial^2\Phi \over \partial x^2} + {\partial^2\Phi \over \partial y^2} + {\partial^2\Phi \over \partial z^2} = \nabla^2\Phi \hspace{4mm}_\square$$ $$ \mathrm{div}(\nabla\Phi) = \mathrm{div} \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \sum_{i=1}^3 \left( {\partial\left({\Phi x_i \over x_i}\right) \over \partial x_i} \right) $$ $$ \downarrow $$ $$\small {\partial \over \partial x}\left( {\partial \Phi \over \partial x} \right)+ {\partial \over \partial y}\left({\partial \Phi \over \partial y} \right) + {\partial \over \partial z}\left({\partial \Phi \over \partial z}\right) $$ $$ \downarrow $$ $${\partial^2\Phi \over \partial x^2} + {\partial^2\Phi \over \partial y^2} + {\partial^2\Phi \over \partial z^2} = \nabla^2\Phi \hspace{4mm}_\square$$
$$ \diamond\diamond\diamond $$
Il Laplaciano come nabla quadro

La notazione secondo cui il laplaciano è un \( \nabla\) al quadrato non è un caso. Il \( 2\) ad esponente non ha però il significato semplice di potenza, ma di prodotto scalare. Mi spiego meglio. Proviamo a calcolare il prodotto scalare di nabla con se stesso \( \langle \nabla, \nabla \rangle \) $$ \langle \nabla, \nabla \rangle = \langle \left( {\partial \over \partial x} + {\partial \over \partial y} + {\partial \over \partial z} \right), \left({\partial \over \partial x} + {\partial \over \partial y} + {\partial \over \partial z}\right)\rangle $$ $$ \langle \nabla, \nabla \rangle = \langle \left( {\partial \over \partial x} + {\partial \over \partial y} + {\partial \over \partial z} \right), \left({\partial \over \partial x} + {\partial \over \partial y} + {\partial \over \partial z}\right)\rangle $$ $$ \large \langle \nabla, \nabla \rangle $$ $$ \downarrow $$ $$ \large \langle \begin{pmatrix} {\partial \over \partial x} \\ {\partial \over \partial y} \\ {\partial \over \partial z} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{\partial \over \partial x} \\ {\partial \over \partial y} \\ {\partial \over \partial z}\end{pmatrix} \rangle $$ $$ \downarrow $$ $$ {\partial^2() \over \partial x^2 } + {\partial^2() \over \partial y^2 } + {\partial^2 () \over \partial x^2 }= \nabla^2() $$

Vi faccio osservare che il prodotto dei termini di nabla non va inteso come un prodotto vero e proprio, ma come l'effetto della derivata vista come operatore, quindi \( ({\partial \over \partial x })({\partial \over \partial x }) \) non va inteso come il prodotto della derivata parziale prima per se stessa, ma come la derivata parziale prima della derivata parziale prima, quindi come derivata seconda.


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