Laplaciano vettore

Come vi accennavo, il laplaciano esiste in due versioni. Scalare e vettoriale. Se hai studiato il laplaciano scalare, preparati in questa lezione alla versione vettore. Il laplaciano vettore ricorre in alcune formule in elettromagnetismo. Rispetto alla versione scalare, si applica a campi vettoriali e restituisce campi vettoriali.

Consideriamo un campo Vettoriale \( \mathrm V : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\). Ricordatevi che il campo vettoriale ha le componenti variabili, quindi: $$ \mathrm V = \begin{cases} \mathrm V_x = \mathrm V_x(x, y, z) \\ \mathrm V_y = \mathrm V_y(x, y, z) \\ \mathrm V_z = \mathrm V_z(x, y, z)\end{cases} $$

Il laplaciano vettore si esprime allo stesso modo del laplaciano scalare, con la differenza, perĂ², che ora le derivate parziali seconde si applicano ad un campo vettoriale e non ad un campo scalare come nella versione precedente.

$$ \nabla^2\mathrm V = \Delta\mathrm V = {\partial^2\mathrm V \over \partial x^2} + {\partial^2\mathrm V \over \partial y^2} + {\partial^2\mathrm V \over \partial z^2} $$ $$ \diamond\diamond\diamond $$
Decomposizione cartesiana

Quando ci restringiamo ad un riferiemnto cartesiano, vale la cosiddetta decomposizione cartesiana, che esprime il fatto per cui le componenti del laplaciano vettore sono i laplaciani delle componenti del campo vettoriale. $$ \nabla^2\mathrm V = \Bigr(\nabla^2\mathrm V_x \Bigl)\hat{i} + \Bigr(\nabla^2\mathrm V_y\Bigl)\hat{j} + \Bigr(\nabla^2\mathrm V_x\Bigl)\hat{k} $$ $$ \downarrow $$ $$ \Biggr( \sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_x \over \partial x_i^2} \Biggl)\hat{i} + \Biggr(\sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_y \over \partial x_i^2}\Biggl)\hat{j} + \Biggr(\sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_z \over \partial x_i^2}\Biggl)\hat{k} $$ $$ \Biggr( \sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_x \over \partial x_i^2} \Biggl)\hat{i} + \Biggr(\sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_y \over \partial x_i^2}\Biggl)\hat{j} + \Biggr(\sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_z \over \partial x_i^2}\Biggl)\hat{k} $$ $$ \small \Biggr( \sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_x \over \partial x_i^2} \Biggl)\hat{i} + \Biggr(\sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_y \over \partial x_i^2}\Biggl)\hat{j} + \Biggr(\sum_{i=1}^3 {\partial^2 \mathrm V_z \over \partial x_i^2}\Biggl)\hat{k} $$


$$ \diamond $$
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