L'operatore \( \nabla \) nabla

L'operatore nabla è un operatore differenziale la cui definizione, supponendo di operare in coordinate cartesiane, rispettivamente, in \( 2\), \( 3\) ed \( n\) dimensioni è la seguente:

$$ {\large \nabla}_{\mathbb R^2} = \frac{\partial }{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial }{\partial y}\hat{j} $$
$$ {\large \nabla}_{\mathbb R^3} = \frac{\partial }{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial }{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial }{\partial z}\hat{k} $$
$$ {\large \nabla}_{\mathbb R^n} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i}\hat{e_i} $$
Esso si indica con il simbolo \( \nabla \), e perciò talvolta è chiamato il delta rovesciato oppure del dalle iniziali di delta, oppure anche operatore di Hamilton. Come vedete, l'azione (effetto) dell'operatore è quello di applicare le derivate parziali lungo le tre direzioni fondamentali: \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\).

Di solito l'operatore si applica a funzioni scalari (campi scalari) variabili spazialmente. Le derivate parziali, infatti, vengono valutate rispetto alle variabili \( x, y, z\) e questo produce un altro oggetto speciale di cui parleremo in seguito e che tiene conto delle variazioni locali del campo stesso. L'operatore è una sorta di "analizzatore" di un campo nello spazio, in quanto trasforma campi scalari in campi vettoriali. L'operatore nabla,è inoltre un operatore lineare e sul prodotto si comporta allo stesso modo di una derivata, nel senso che in termini algebrici si comporta nel modo seguente: se \( \alpha\) e \( \beta \) sono due costanti reali e \( \Psi \) e \(\Phi\) due campi scalari, si ha: $$ \nabla\Bigr( \alpha\Psi + \beta\Phi\Bigl) = \alpha\nabla(\Psi) + \beta\nabla(\Phi) $$ $$ \nabla\Bigr( \Psi\Phi\Bigl) = \nabla(\Psi)\Phi + \Psi\nabla(\Phi) $$

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Perche nabla

Il nome "nabla" deriva da uno strumento musicale a corde, il (salterio), di forma triangolare stile arpa o lira, suonata dagli antichi romani, molti secoli addietro. La prima volta che venne usato questo simbolo di delta rovesciato risale ai tempi di Maxwell e pare inoltre che sia stato lo stesso Maxwell insieme all'amico Hamilton a coniare il nome nabla.

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L'invarianza per trasformazioni di coordinate

L'operatore nabla è un invariante per trasformazioni di coordinate. Questo significa, in parole semplici, che se applico nabla in un punto dello spazio e cambio sistema di coordinate, nabla non cambia. Tuttavia, la definizione che vi ho appena presentato in alto, fa riferimento alle coordinate cartesiane. Successivamente, vedremo come descrivere il tutto in termini più generali.

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