Ortogonalità e superfici di livello

Qual è l'orientazione del gradiente? Siccome è un campo vettoriale, in che modo è orientato? La risposta a tale domanda, sarà l'obiettivo di questo paragrafo, che come vedremo, è molto importante ai fini del corso ed inoltre è a fondamento di molte applicazioni alla fisica.

Consideriamo un campo scalare \( \Phi = \Phi(x, y, z) \in \mathbb R^3 \) a tre dimensioni. Dal corso di Analisi UNO, in particolare dal capitolo inerente alle derivate, vi ricorderete che il differenziale di una funzione reale di variabile reale, è l'incremento sulla retta approssimatrice (non sul grafico della funzinone) e si esprime nel modo seguente: $$ f'(x) = {dy \over dx} \hspace{3mm} \Rightarrow \hspace{3mm} dy = f'(x)dx $$

Nel caso di una funzione di più variabili (campo scalare), esiste una formula analoga per il differenziale: $$ \langle \nabla\Phi, dl \rangle = \langle \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}\rangle \hspace{2mm} \rightarrow \hspace{2mm} \sum_{i=1}^3{\partial\Phi \over \partial x_i}dx_i $$ $$ \langle \nabla\Phi, dl \rangle = \langle \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}\rangle \hspace{2mm} \rightarrow \hspace{2mm} \sum_{i=1}^3{\partial\Phi \over \partial x_i}dx_i $$ $$ \langle \nabla\Phi, dl \rangle = \langle \begin{pmatrix} {\partial\Phi \over \partial x} \\ {\partial\Phi \over \partial y} \\ {\partial\Phi \over \partial z} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}\rangle \hspace{2mm} $$ $$ \sum_{i=1}^3{\partial\Phi \over \partial x_i}dx_i $$ $$ \downarrow $$ $$ {\partial\Phi \over \partial x}dx + {\partial\Phi \over \partial y}dy + {\partial\Phi \over \partial z}dz $$

Osservate questa espressione: cosa è cambiato rispetto al caso unidimensionale? Al posto della derivata della funzione compare il gradiente del campo scalare, mentre al posto del prodotto samplice, compare un prodotto scalare, per tutto il resto il discorso è analogo. Questa espressione ha un nome speciale: si chiama 1-forma differenziale oppure, più abbreviatamente 1-forma (sott'intendento il differenziale). Sulle forme differenziali vi dirò molto, in un altro capitolo, si tratta di un concetto matematico molto importante, che sfocia nella teoria delle k-forme differenziali, di cui discuteremo più avanti.

Per motivi prettamente grafici, supponiamo che il campo \( \Phi\) sia un campo \( \Phi: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\). Consideriamo una curva di livello di quota \( k\). $$ \mathrm L_k = \{ (x, y) \in \mathbb R^2 \hspace{2mm} | \hspace{3mm} \Phi(x, y) = k \} $$ Ricordo che una curva di livello è il luogo dei punti del dominio del campo scalare, le cui immagini sono costanti. Ad esempio, se \( x_1 \in \mathrm L_k \) ed \( x_2 \in \mathrm L_k \) allora \( \Phi(x_1) = \Phi(x_2) = k \).

Immaginiamo di considerare, a tal proposito, un punto \( x_0 \) del dominio corrispondente ad una curva di livello, quindi \( \Phi(x_0) = k \). Supponiamo ora di spostarci di un incremento infinitesimo \( dl \) - restando sempre sulla curva di livello - di modo che \( \Phi(x_0 + dl) = k \. Se valutiamo lo scarto della funzione, nel passaggio dal punto \(x_0\) al punto \( x_0 + dl\), vale ovviamente, per quanto visto: $$ \Phi(x_0+dl)-\Phi(x_0) = k-k = 0 $$

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