Rotore di un campo vettoriale

Se il gradiente associa ad un campo scalare un campo vettoriale, e la divergenza associa ad un campo vettoriale en campo scalare, il rotore associa ad un campo vettoriale un altro campo vettoriale: il campo rotore. Il rotore o come direbbero gli anglosassoni curl è, rispetto agli altri, l'operatore più sofisticato. Tanté che i matematici ed i fisici hanno escogitato uno stratagemma (trucchetto) per ricordare la formula delle componenti del rotore.

Partiamo da un campo vettoriale \( \mathrm E \) che rappresenta ad esempio un campo elettrico (se vogliamo restare nel linguaggio elettromagnetico), ebbene; il rotore di \( E\) è un nuovo campo che serve a descrivere le "rotazioni locali" o "vortici" (come era tipico chiamarli nell '800) del campo. Per indicare il rotore si può usare una delle seguenti notazioni. $$ {\large rot(\mathrm E) \hspace{1cm} \nabla\times\mathrm E \hspace{1cm} \nabla \mathrm E \hspace{1cm} curl(\mathrm E) }$$ $$ {\large rot(\mathrm E) \hspace{1cm} \nabla\times\mathrm E \hspace{1cm} \nabla \mathrm E \hspace{1cm} curl(\mathrm E) }$$ $$ {\large rot(\mathrm E) \hspace{1cm} \nabla\times\mathrm E \\ \nabla \mathrm E \hspace{1cm} curl(\mathrm E) }$$

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Il determinante simbolico

Il trucchetto di cui vi accennvo si chiama determinante simbolico. Per chi ha studiato (si presume, altrimenti non sareste qui a leggere queste diavolerie), un pò di algebra lineare, vi ricorderete del determinante \( 3\cdot 3\). Cosa centra il determinante? I matematici si sono accorti che, estraendo i termini del determinante di ordine \( 3\), si ottengono le componenti del rotore - vi faccio vedere come:

Sia dato il campo vettoriale \( \mathrm E = (\mathrm E_x, \mathrm E_z, \mathrm E_z) \). Ovviamente ogni componente del campo \( \mathrm E \) è una funzione di tre variabili, cosicchè \( \mathrm E_i = \mathrm E_i(x, y, x), i=1..3 \), ma per ora non ci interessa questo. Possiamo costruirci il determinante simbolico nel modo seguente: $$ \large \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{matrix} \right| $$

Se ora provate a risolvere questo determinante mediante lo sviluppo di Laplace scegliendo come riga la prima otterrete questo: $$ \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}}& \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} = \widehat{i}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} - \widehat{j}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} + \widehat{k}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y \\ \end{vmatrix} = $$ $$ = \left( \frac{\partial \mathrm E_z}{\partial y} - \frac{\partial \mathrm E_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial \mathrm E_x}{\partial z} - \frac{\partial \mathrm E_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial \mathrm E_y}{\partial x} - \frac{\partial \mathrm E_x}{\partial y} \right)\hat{k} $$ $$ \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}}& \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} = \widehat{i}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} - \widehat{j}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} + \widehat{k}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y \\ \end{vmatrix} = $$ $$ = \left( \frac{\partial \mathrm E_z}{\partial y} - \frac{\partial \mathrm E_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial \mathrm E_x}{\partial z} - \frac{\partial \mathrm E_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial \mathrm E_y}{\partial x} - \frac{\partial \mathrm E_x}{\partial y} \right)\hat{k} $$ $$ \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}}& \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \widehat{i}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_y & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} - \widehat{j}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_z \\ \end{vmatrix} + \\ + \widehat{k}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} \\ \mathrm E_x & \mathrm E_y \\ \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$ \left( \frac{\partial \mathrm E_z}{\partial y} - \frac{\partial \mathrm E_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \\ + \left( \frac{\partial \mathrm E_x}{\partial z} - \frac{\partial \mathrm E_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \\ + \left( \frac{\partial \mathrm E_y}{\partial x} - \frac{\partial \mathrm E_x}{\partial y} \right)\hat{k} $$ Cosa rappresenta questa formula? Abbiamo tre componenti, \( ()\hat{i}+()\hat{j}+()\hat{k} \) sommate. Non fate caso per ora al significato delle singole componenti ma osseravte che si tratta di un vettore di \( \mathbb R^3\); questo vettore è proprio il rotore di \( \mathrm E \).

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Il significato fisico del rotore

Per intenderci, un conto è saper fare una marea di calcoli, imparare la formula a memoria ecc, un altro conto è padroneggiare il tutto da un punto di vista superiore. A cosa mi riferisco? Semplicemente al fatto che bisogna che tu comprenda a fondo il significato profondo del rotore, cosa accade dietro le quinte. Per capirlo bisogna condurre un esperimento.

Stai facendo una passeggiata, magari con la tua ragazza all'aperto, ad un tratto ti trovi davanti ad un ruscello. Siccome sei un fisico, osservi attentamente il seguente fatto. Una foglia si trova sull'acqua e viene trasportata dal flusso dell'acqua. Possiamo rappresentare tutto questo, matematicamente, attraverso un campo vettoriale; il campo \( \mathrm V\) delle velocità dell'acqua. Ora osservi che la foglia compie delle "rotazioni", perché in alcune zone si creano dei "mini-vortici" d'acqua... lì il campo ruota e naturalmente in quei punti il c'è un rotore ;) (\(rot(\mathrm V) \neq 0\) )

Supponiamo per semplificare le cose, senza perdità di generalità, che la foglia è posizionata su un piano \( xy\). Quello che bisogna fare è descrivere matematicamente queste rotazioni della foglia tenendo conto dell'azione del campo \( \mathrm V\)

Ed è quì, che entrano in scena le espressioni delle componenti del rotore! La prima cosa che ti invito ad osservare e che in ogni componente non compare la variabile relativa a quella componente. Ad esempio nella componente \( \hat{k} \) non compare la \( z\) mentre compaiono sia \( x\), che \( y\). Questo perchè le espressioni della componente \( \hat{k} \) devono descrivere le rotazioni sul piano \( xy\), le espressioni della componente \( \hat{j} \) devono descrivere le rotazioni sul piano \( xz\), e così via. Ma vediamo più in dettaglio. Ogni componente è la differenza di due derivate parziali. Ad esempio considerando la terza componente (il discorso vale per le altre), abbiamo: $$ \large {\partial \mathrm E_x \over \partial y} - {\partial \mathrm E_y \over \partial x} $$ Che significa? Significa questo: se c'è un contributo lungo \( z \) allora vuol dire che sul piano \( xy \) c'è un contributo rotazionale, ovvero il campo ruota perpendicolarmente a \( z\) e questo è descritto dalla differenza delle derivate parziali. Infatti: per essere ad esempio positiva la componente \( z\) dobbiamo avere che: $$ {\partial \mathrm E_y \over \partial x} - {\partial \mathrm E_x \over \partial y} \ge 0 \Rightarrow {\partial \mathrm E_y \over \partial x} \ge {\partial \mathrm E_x \over \partial y} $$

Quindi, se voglio una rotazione (per convenzione positiva antioraria), il contributo rotazionale della componente y del campo quando mi sposto lungo x deve essere maggiore del contributo rotazionale della componente x del campo quando mi sposto lungo y. In questo modo avremo rotazioni antiorarie nel piano \( xy \) che contribuiscono ad avere la componente \( z\) del rotore positiva. Stesso discorso per le altre componenti.
Mentre gli altri operatori sono estendibili a spazi a dimensione maggiore di \( 3\), il rotore è strettamente legato ad \( \mathbb R^3\). Sarebbe difficile, anche se possibile e con qualche artificio matematico, estendere il tutto a dimensioni maggiori, ma questo per il momento esula da questo paragrafo.

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