Scatola coordinata

Immaginate di essere nello spazio e di considerare un cubetto infinitesimo di volume. Una scatola coordinata è un elemento di volume di un sistema di coordinate delimitato dalle superfici coordinate. Vogliamo calcolare il volume di questo cubetto.

Siccome i vettori della base locale sono ortogonali (formano angoli di \( 90° \) a due a due), possiamo esprimere i lati di questo cubetto come il prodotto delle norme dei vettori della base locale, moltiplicati per i differenziali infinitesimi, in questo modo il volume infinitesimo è dato dalla seguente formula: $$ \large dV = \begin{Vmatrix} {\partial r \over \partial u} \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} {\partial r \over \partial v} \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} {\partial r \over \partial w} \end{Vmatrix} dudvdw$$

volumetto infinitesimo scatola coordinata

Proviamo a calcolare il volume della scatola coordinata sferica e cilindrica. Conoscendo il valore dei fattori di scala sferici e cilindrici possiamo determinare il loro prodotto. $$\diamond\diamond\diamond $$
Volume di una scatola coordinata cilindrica

Per le coordinate cilindriche, sappiamo che i fattori di scala sono: \( h_\rho = \rho, h_\theta = 1, h_z = 1 \) quindi l'elemento di volume è pari a: $$ dV = h_\rho h_\theta d_z d\rho d_\theta dz = \rho d \rho d\theta dz $$

Volume di una scatola coordinata sferica

Per le coordinate sferiche, sappiamo che i fattori di scala sono: \( h_\rho = \rho, h_\theta = 1, h_\phi = 1 \) quindi l'elemento di volume è pari a: $$ dV = h_\rho h_\theta d_\phi d\rho d_\theta d\phi = \rho^2 sin\theta d \rho d\theta d\phi $$

$$ \diamond $$
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