Spazi di Banach

Eccoci qui alla prese con un altro tipo di struttura matematica astratta! Spazi di Banach. Si tratta di un tipo di spazio (inteso come luogo astratto) in cui succedono fatti connessi al concetto di linearita. La parola d'ordine quì è norma. Non è un caso che questi spazi vengono comunemente chiamati "spazi normati", cioè dotati di una norma. Spero sappiate cos'è una norma! Per chi non lo sapesse, si tratta di una generalizzazione del concetto di lunghezza tra due elementi in uno spazio vettoriale. Ebbene prima di continuare a leggere vi raccomando di imparare tutte le proprietà della norma.

Ora, perchè la norma è così importante? La risposta è semplice! Attraverso la norma, possiamo definire il concetto di distanza tra due oggetti (che d'ora in poi chiamerò vettori) nello spazio suddetto. La distanza la definisco come "la norma della differenza tra due vettori" $$ dist(x, y) = ||x-y|| $$

L'altro ingrediente fondamentale che costituise uno spazio di Banach è la completezza, infatti uno spazio per essere di Banach deve avere 2 caratteristiche, che lo contraddistinguono:

Ma che cosa sono le successioni di Cauchy? Sono uno dei tipi più sempici e primitivi di successioni. Possiamo vederle "informalmente" come successioni in cui i punti sono sempre più vicini al tendere all'infinito della successione stessa, diamone la definizione formale:


Succesioni di Cauchy

Consideriamo una successione di numeri o punti di un insieme \( D\). Questi punti li chiamiamo per convenzione \( x_i\).

Una successione convergente \( \{ X_i \}_{i \in \mathbb N} \), è detta di Cauchy se vale la seguente asserzione: $$ \forall \epsilon > 0 , \hspace{2mm} \exists n_\epsilon \hspace{2mm} | \hspace{2mm} \forall n > n_\epsilon \Rightarrow |x_n - x_{n+1}| < \epsilon $$ $$ \forall \epsilon > 0 , \hspace{2mm} \exists n_\epsilon \hspace{2mm} | \hspace{2mm} \forall n > n_\epsilon \Rightarrow |x_n - x_{n+1}| < \epsilon $$ $$ \large \forall \epsilon > 0 , \hspace{2mm} \exists n_\epsilon \hspace{2mm} | \hspace{2mm} \forall n > n_\epsilon $$ $$\downarrow $$ $$\large |x_n - x_{n+1}| < \epsilon $$

Questo significa che ogni qualvolta scelgo un valore piccolo a piacere chiamato \(\epsilon\) positivo, che rappresenta una distanza infinitesima, esiste un indice particolare della successione \(n_\epsilon\) tale per cui presa una coppia di valori della successione, essi hanno una distanza inferiore ad \(\epsilon\), se questo accade per ogni scelta di \(\epsilon\) allora la succsssione è convergente ed è di Cauchy. La figura mostra degli esempi di successioni.

Riassumendo, possiamo dire che uno spazio di Banach è uno spazio normato è completo. Deve esserci una norma, ed inoltre tutte le successioni di Cauchy devono convergere nell'insieme stesso, se solo una di esse converge fuori dall'insieme, ci sono dei buchi e l'insieme non è di Banach.

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