Spazio di Hilbert

Arrivati a questo punto, possiamo parlare degli spazi detti di Hilbert. David Hilbert è stato uno dei più grandi matematici, in suo onore il termine «spazio di Hilbert». Ebbene che cos'è uno spazio hilbertiano? Quali sono le sue caratteristiche rispetto agli spazi visti fin'ora?

Definizione

Gli spazi di Hilbert sono tra i più importanti in matematica. Su di essi si fondano molte delle discipline scientifiche come la teoria dei segnali, la relatività ecc. La meccanica quantistica stessa è definita su uno spazio hilbertiano chiamato \( \mathbb L^2 \), di cui ne parleremo in seguito... e moltoi settori della matematica pura e astratta hanno a fondamento questo tipo di struttura. Ma passiamo alla sua definizione, molto semplice che si può riassumere in una frase:

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare e metricamente completo è uno spazio di Hilbert


Questo significa una sola cosa: per costruirci uno spazio di hilbert (abbr. s.h.), dobbiamo costruirci un prodotto scalare (o interno) per ogni coppia di elementi dello spazio. Ma perchè abbiamo bisogno del prodotto scalare?

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