Famiglie di intorni

Immaginiamo di considerare un insieme \( X \neq \emptyset\) (non vuoto), se fosse vuoto non staremmo qui a discutere... questo insieme \( X \) contiene dei punti, gli elementi di \(X\), per ciascuno di questi punti associamo un "insieme di sottoinsiemi" \( \Phi_x[U] \)

Assiomi topologici di una famiglia di intorni

L'oggetto \( \Phi_x[U] \) è una famiglia di intorni o sistema di intorni. Cosa c'è dentro \( \Phi_x[U] \)? In sostanza \( \Phi_x[U] \) contiene degli insiemi chiamati "intorni". Un intorno di un punto è semplicemente un sottoinsieme che contiene il punto e per il quale devono valere i seguenti assiomi fondamentali:

Assioma dell'appartenenza

$$ \forall U \in \Phi_x[U] \Rightarrow x \in U $$ Questo assioma ci dice una cosa banale: ogni intorno di \( x\) contiene \( x\).

Assioma dell'inclusione

$$ \large U \in \Phi_x[U], U \subseteq V \subseteq \Phi_x[U] \Rightarrow V \in \Phi_x[U] $$ $$ U \in \Phi_x[U], U \subseteq V \subseteq \Phi_x[U] \Rightarrow V \in \Phi_x[U] $$ $$ U \in \Phi_x[U], U \subseteq V \subseteq \Phi_x[U] $$ $$ \Downarrow $$ $$ V \in \Phi_x[U] $$ Tutti gli iinsiemi che contengono un intorno di \( x\), sono intorni di \( x\)

Assioma dell'intersezione

$$ \large U \in \Phi_x[U], V \in \Phi_x[U] \Rightarrow V\cap U \in \Phi_x[U] $$ $$ U \in \Phi_x[U], V \in \Phi_x[U] \Rightarrow V\cap U \in \Phi_x[U] $$ $$ U \in \Phi_x[U], V \in \Phi_x[U] $$ $$ \Downarrow $$ $$ V\cap U \in \Phi_x[U] $$ L'intersezione di intorni di \( x\) è intorno di \( x\). La dimostrazione è banale perchè essendo sia \( U\) che \(V\), intorni di \( x\), entrambi conterranno \( x\), quindi anche la loro intersezione.

Assioma dell'induzione

$$ U \in \Phi_x[U] \Rightarrow \exists V \in \Phi_x[U] $$ Per ogni intorno di \(x\) esiste un intorno di \( x\) tale per cui l'intorno che lo contiene è intorno di tutti i punti del sottoinsieme.

$$ \diamond $$
BACK HOME NEXT

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione