Punto interno

Consideriamo un sottoinsieme \( \mathbb D \subseteq \mathbb R^n\). Esso sarà d'ora in poi l'ambiente in cui daremo le nostre definizioni.

Un punto è interno a \( \mathbb D \) quando, banalmente non è fuori da \( \mathbb D \) stesso. Come possiamo esprimere questo fatto matematicamente? Se ricordiamo, abbiamo definito l'oggetto topologico elementare (palla). Ora la palla è caratterizzata da un suo centro \( x_0 \) e da un suo raggio \( r\). Esistono infinite palle con tutti i possibili raggi. Possiamo dire a tal proposito che:

Un punto \( \hat{x} \) si dice interno a \( \mathbb D \) se esiste una palla centrata in esso tutta contenuta in \( \mathbb D \).

Come vedete, addirittura, ne esistono infinite di palle centrate nel punto contenute in \( \mathbb D\), ma l'importante e averne almeno una. in questo modo si assicura che il punto sia totalmente interno all'insieme.

Vi ricordo che i grafici si riferiscono al caso bidimensionale \( n = 2 \rightarrow (\mathbb R^2 )\), ma naturalmente la definizione vale per qualsiasi dimensione.

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