Al ristorante
- LOGICA -

Al ristorante

Venti persone vanno a cena in un ristorante. Poiché non tutti mangiano la stessa quantità di cibo si decide che il conto totale di \(£ 200000\) è così suddiviso:


Per questo indovinello ti presento due possibili soluzioni, una rigorosa basata su una corretta impostazione matematica ed una più leggera basata solo sull'intuito. Incominciamo dalla più semplice: sicuramente ci sono meno di dieci uomini (o al massimo potrebbero essere proprio dieci, ma non sono così cattivo da inserire banali trabocchetti!). Se fossero nove resterebbero \(20 €\) da suddividere fra donne e bambini. Anche se le 11 persone rimaste fossero tutti bambini, però, dovrebbero pagare meno di \(2 €\) per raccogliere i \(20 €\) mancanti. Questa situazione è quindi impossibile. Con otto uomini resterebbero 40 € da suddividere e ripetendo il controllo precedente si nota che se le altre persone fossero tutte bambini pagherebbero \(36 €\). Una cifra molto vicina a quella da coprire! A questo punto è facile vedere che basta ipotizzare che una delle \(12\) persone rimanenti sia una donna per risolvere il problema. La compagnia era quindi composta da otto uomini, che hanno pagato complessivamente \(160 €\), una donna, che ha contribuito con \(7 €\) ed undici bambini per un totale di \(33 €\). Verificare che non ci siano altre possibili combinazioni è molto noioso con questo metodo "empirico". Se sei interessato leggi la risoluzione più rigorosa: Detti \(x, y\) e \(z\) rispettivamente il numero degli uomini, delle donne e dei bambini possiamo impostare un sistema di due equazioni in tre incognite: $$ \begin{cases} x + y + z = 20 \\ (20·x) + (7·y) + (3·z) = 200 \end{cases} $$ La matematica ci insegna che un sistema di questo tipo ammette infinite soluzioni. Andiamo però con ordine: ricavando y dalla prima si ha: \(x = 20 - y - z\) Sostituendo quest'espressione nella seconda e semplificando otteniamo: \( (13·x) - (4·z) = 60 \) Da cui ricavando \(z\): \( z = (13·x/4) - 15 \) A questo punto si hanno due condizioni che fin ora non abbiamo introdotto: la prima prevede che \( x, y \) e \(z\), che stiamo cercando, devono essere tutti interi. Affinché questa condizione sia rispettata per z possiamo dire che nell'ultima equazione ricavata \( x\) dev'essere multiplo di \( 4\). La seconda condizione elimina, tra le infinite soluzioni, quelle per le quali si ottengono valori delle incognite negativi e comunque superiori a 20. In particolare per \(z\) é \(0 < z < 20 \) in questo ed in tutti i passaggi successivi il simbolo \( <\) è da intendersi come "minore od uguale"). Cioè per l'ultima equazione ricavata: $$ 0 < (13·x/4) - 15 < 20 $$ Risolvendo la disequazione rispetto ad \(x\) otteniamo: \( 4,62 < x < 10,77 \) L'unico valore di \(x\) che é intero, multiplo di \(4\) e rispetta questa diseguaglianza é \(8\). Per \(x = 8\) si hanno, direttamente dal sistema iniziale, \( z = 11\) e \(y = 1\). Dunque in quel gruppo di persone c'erano \(8\) uomini, una donna ed \(11\) bambini


BACK TO MAIN