I soldati
- LOGICA -

I soldati

Un comandante molto pretenzioso voleva disporre i propri soldati in modo che formassero un quadrato. Al primo tentativo è riuscito a schierare una parte del proprio plotone in un quadrato ma gli sono avanzati \(105\) uomini. Al secondo gli sarebbero serviti altri \(100\) militari per raggiungere il suo scopo.

Quanti erano gli uomini a disposizione dell'ufficiale?


Per risolvere il problema si devono trovare due quadrati (cioè due numeri che si possono ottenere elevando al quadrato un numero naturale) che differiscono di \(205\) unità. Il numero dei soldati sarà dato dal quadrato maggiore diminuito di \(100\) (gli uomini che sarebbero serviti al comandante per ottenere lo schieramento voluto) o equivalentemente dal minore aumentato di \(105\). Alcune proprietà dei quadrati sono utili per individuare la soluzione. Se si considerano due numeri \(a\) e \(b\) tali che \(a-b=X\), si elevano al quadrato e si fa la differenza dei valori ottenuti si ricava un certo risultato. Aumentando a e b ma lasciando invariata \(X\) si ottengono con questo procedimento dei numeri sempre più grandi. Se si conosce il valore per la coppia \( a, b\) si possono determinare i risultati per tutti i numeri maggiori di \( a \) e \(b\) che differiscono di \(X\). Infatti: $$ [(a+k)(a+k) - (b+k)(b+k)] - [(a+k-1)(a+k-1) - (b+k-1)(b+k-1)] = 2(a-b)(k-1) $$ In questo modo si possono calcolare le differenze fra i quadrati in modo molto semplice, a partire da quelle dei quadrati dei primi numeri naturali che sono: $$\begin{align} 1 - 4 (2^2) = 3 \\ 1 - 9 = 8 \\ 1 - 16 = 15\\ 1 - 25 = 24\\ 1 - 36 = 35\\ ................. \end{align} $$ Per poter ottenere \(205\) serve una differenza iniziale \(X\) dispari perché il valore che si aggiunge per ottenere il risultato per tutti i numeri separati di \(X\) è pari \( 2(a-b)(k-1) \) è ovviamente divisibile per \(2\) e quindi pari). Sempre considerando la formula \( 2(a-b)(k-1) \) si nota che la differenza dei quadrati dei numeri che differiscono di \( 5 \) aumenta di \(10\) ed i quadrati della coppia iniziale hanno differenza uguale a \(35\). Si vede facilmente che con questi valori si può ottenere \(205 \). Non resta che da trovare il numero esatto dei soldati risolvendo: $$ 35 + 2*5(k-1) = 250 $$ $$ 10k = 205 - 35 - 10 ovvero k = 17 $$ I due quadrati cercati sono quindi \( (1+17)(1+17) = 324 e (6+17)(6+17) = 529 \) In conclusione i soldati a disposizione del comandante erano $$ 324+105 = 529-100 = 429 $$


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