I numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali che includono un’unità immaginaria \(i\), definita come \(i^2 = -1\). Ogni numero complesso si può rappresentare nella forma:

\[ z = x + iy \]

dove:

  • \(x\) è la parte reale,
  • \(y\) è la parte immaginaria, e
  • \(i\) rappresenta l’unità immaginaria.

Rappresentazione geometrica

Un numero complesso può essere visto come un punto o un vettore nel piano complesso, con coordinate \((x, y)\). Il piano complesso è così definito:

  • L’asse \(x\) (asse reale).
  • L’asse \(y\) (asse immaginario).

Modulo e argomento

Il modulo di un numero complesso \(z\) è dato dalla sua distanza dall’origine nel piano complesso:

\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

L’argomento \(\theta\) è l’angolo formato dal vettore \(z\) con l’asse reale positivo, misurato in senso antiorario.

Forma polare ed esponenziale

Un numero complesso può essere espresso in forma polare:

\[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \]

oppure in forma esponenziale, usando la formula di Eulero:

\[ z = re^{i\theta} \]

dove:

  • \(r = |z|\) è il modulo,
  • \(\theta\) è l’argomento, con \(\theta \in \mathbb{R}\).

Operazioni con numeri complessi

Le operazioni algebriche come somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione si estendono ai numeri complessi seguendo le regole algebriche standard, ricordando sempre che \(i^2 = -1\).

Esempio pratico

Per il numero complesso \(z = 3 + 4i\):

  • Parte reale: \(x = 3\),
  • Parte immaginaria: \(y = 4\),
  • Modulo: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
  • Forma polare: \[ z = 5 \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), \text{ con } \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right). \]