I numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali che includono un’unità immaginaria \(i\), definita come \(i^2 = -1\). Ogni numero complesso si può rappresentare nella forma:
\[ z = x + iy \]
dove:
- \(x\) è la parte reale,
- \(y\) è la parte immaginaria, e
- \(i\) rappresenta l’unità immaginaria.
Rappresentazione geometrica
Un numero complesso può essere visto come un punto o un vettore nel piano complesso, con coordinate \((x, y)\). Il piano complesso è così definito:
- L’asse \(x\) (asse reale).
- L’asse \(y\) (asse immaginario).
Modulo e argomento
Il modulo di un numero complesso \(z\) è dato dalla sua distanza dall’origine nel piano complesso:
\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
L’argomento \(\theta\) è l’angolo formato dal vettore \(z\) con l’asse reale positivo, misurato in senso antiorario.
Forma polare ed esponenziale
Un numero complesso può essere espresso in forma polare:
\[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \]
oppure in forma esponenziale, usando la formula di Eulero:
\[ z = re^{i\theta} \]
dove:
- \(r = |z|\) è il modulo,
- \(\theta\) è l’argomento, con \(\theta \in \mathbb{R}\).
Operazioni con numeri complessi
Le operazioni algebriche come somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione si estendono ai numeri complessi seguendo le regole algebriche standard, ricordando sempre che \(i^2 = -1\).
Esempio pratico
Per il numero complesso \(z = 3 + 4i\):
- Parte reale: \(x = 3\),
- Parte immaginaria: \(y = 4\),
- Modulo: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
- Forma polare: \[ z = 5 \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), \text{ con } \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right). \]