Punti singolari isolati: poli, residui e comportamento locale

In analisi complessa, un punto singolare è un punto \( z_0 \) in cui una funzione \( f(z) \) non è analitica, ma potrebbe comunque essere ben definita tramite una rappresentazione locale. Quando questi punti singolari sono isolati, significa che esiste un intorno di \( z_0 \) in cui \( z_0 \) è l’unico punto in cui \( f(z) \) non è analitica.

Tipi di punti singolari isolati

Esistono tre principali tipi di punti singolari isolati, classificati in base al comportamento locale della funzione:

  • Punto regolare rimovibile: Se \( f(z) \) è limitata in un intorno di \( z_0 \), il punto singolare può essere “rimovibile” estendendo \( f(z) \) in modo che diventi analitica in \( z_0 \).
  • Polo: Se \( |f(z)| \to \infty \) quando \( z \to z_0 \), il punto singolare è un polo.
  • Punto essenziale: Se il comportamento di \( f(z) \) vicino a \( z_0 \) è caotico (ad esempio, \( f(z) \) assume tutti i valori complessi infiniti volte), allora \( z_0 \) è un punto essenziale (secondo il teorema di Casorati-Weierstrass).

Sviluppo in serie di Laurent

In un intorno di un punto singolare isolato \( z_0 \), una funzione \( f(z) \) può essere rappresentata da una serie di Laurent:

\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z – z_0)^n, \]

La serie di Laurent è composta da due parti:

  • Parte regolare: I termini con potenze positive e nulle di \( (z – z_0) \).
  • Parte singolare: I termini con potenze negative di \( (z – z_0) \).

Il comportamento locale di \( f(z) \) dipende dalla natura dei coefficienti \( a_n \), in particolare da quelli della parte singolare.

Poli

Un polo è un punto singolare isolato per cui la parte singolare della serie di Laurent è finita, cioè la funzione può essere scritta come:

\[ f(z) = \frac{a_{-m}}{(z – z_0)^m} + \frac{a_{-(m-1)}}{(z – z_0)^{m-1}} + \cdots + a_0 + a_1(z – z_0) + \cdots, \]

dove \( m \) è l’ordine del polo. Se \( m = 1 \), il polo è detto semplice. Per esempio:

Esempio: Polo semplice

La funzione:

\[ f(z) = \frac{1}{z – 1} \]

ha un polo semplice in \( z_0 = 1 \), poiché può essere scritta come:

\[ f(z) = \frac{1}{z – 1}. \]

Residui

Il residuo di una funzione \( f(z) \) in un punto singolare isolato \( z_0 \) è il coefficiente \( a_{-1} \) della serie di Laurent. È una quantità fondamentale in analisi complessa, poiché appare nel teorema del residuo, che afferma:

\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum (\text{residui all’interno di } \gamma), \]

dove \( \gamma \) è un contorno chiuso.

Esempio: Calcolo del residuo

Per la funzione:

\[ f(z) = \frac{e^z}{z – 1}, \]

il residuo in \( z_0 = 1 \) è dato da:

\[ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z – 1) f(z) = e^1 = e. \]

Punti essenziali

Un punto essenziale è un punto singolare isolato in cui la serie di Laurent ha infiniti termini con potenze negative. Per esempio, la funzione \( f(z) = e^{1/z} \) ha un punto essenziale in \( z_0 = 0 \). Secondo il teorema di Casorati-Weierstrass, vicino a un punto essenziale, \( f(z) \) si avvicina a tutti i valori complessi (con al massimo un’eccezione).

Teorema di Liouville e applicazioni

I residui giocano un ruolo importante in molte applicazioni dell’analisi complessa, inclusi i seguenti:

  • Calcolo di integrali complessi lungo contorni chiusi.
  • Classificazione dei punti singolari per determinare il comportamento asintotico delle funzioni.
  • Dimostrazione di teoremi fondamentali, come il teorema di Liouville e il principio del massimo modulo.

Conclusione

I punti singolari isolati, i poli e i residui sono strumenti chiave per analizzare il comportamento locale delle funzioni complesse. Il calcolo dei residui consente di risolvere integrali complessi e studiare il comportamento globale delle funzioni nel piano complesso.