Teorema dei residui
Il Teorema dei residui è un risultato fondamentale in analisi complessa. Esso fornisce un metodo potente per calcolare integrali complessi lungo contorni chiusi, utilizzando i residui delle funzioni analitiche nei punti singolari isolati interni al contorno.
Enunciato del teorema
Sia \( f(z) \) una funzione analitica su una regione semplicemente connessa \( D \), eccetto che in un numero finito di punti singolari isolati \( z_1, z_2, \dots, z_n \) all’interno di \( D \). Se \( \gamma \) è un contorno chiuso che circonda tutti i punti singolari in senso antiorario, allora l’integrale di \( f(z) \) lungo \( \gamma \) è dato da:
\[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k), \]
dove \( \text{Res}(f, z_k) \) rappresenta il residuo della funzione \( f(z) \) nel punto singolare \( z_k \).
Definizione di residuo
Il residuo di una funzione \( f(z) \) in un punto singolare isolato \( z_0 \) è il coefficiente \( a_{-1} \) della rappresentazione in serie di Laurent di \( f(z) \) intorno a \( z_0 \):
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z – z_0)^n. \]
In altre parole:
\[ \text{Res}(f, z_0) = a_{-1}. \]
Metodo di calcolo dei residui
I residui possono essere calcolati in diversi modi, a seconda della natura del punto singolare:
- Polo semplice: Se \( z_0 \) è un polo semplice, allora:
- Polo di ordine \( m \): Se \( z_0 \) è un polo di ordine \( m \), allora:
- Sviluppo in serie di Laurent: Se la funzione \( f(z) \) è rappresentata dalla serie di Laurent intorno a \( z_0 \), allora il residuo è semplicemente il coefficiente \( a_{-1} \).
\[ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z – z_0) f(z). \]
\[ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z – z_0)^m f(z) \right]. \]
Esempio
Esempio: Calcolo di un integrale usando il teorema dei residui
Calcoliamo l’integrale:
\[ \int_{\gamma} \frac{e^z}{z(z-1)} \, dz, \]
dove \( \gamma \) è un cerchio centrato nell’origine e di raggio maggiore di 1, percorso in senso antiorario.
La funzione \( f(z) = \frac{e^z}{z(z-1)} \) ha due punti singolari isolati:
- \( z_0 = 0 \), un polo semplice,
- \( z_1 = 1 \), un altro polo semplice.
Calcoliamo i residui:
- Per \( z_0 = 0 \):
- Per \( z_1 = 1 \):
\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{e^z}{z(z-1)} = \frac{e^0}{-1} = -1. \]
\[ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{e^z}{z(z-1)} = \frac{e^1}{1} = e. \]
Applicando il teorema dei residui, otteniamo:
\[ \int_{\gamma} \frac{e^z}{z(z-1)} \, dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1) \right) = 2\pi i (-1 + e). \]
Quindi il valore dell’integrale è:
\[ \int_{\gamma} \frac{e^z}{z(z-1)} \, dz = 2\pi i (e – 1). \]
Applicazioni del teorema dei residui
Il teorema dei residui è uno strumento estremamente potente in analisi complessa, con molte applicazioni, tra cui:
- Calcolo di integrali complessi lungo contorni chiusi.
- Valutazione di integrali impropri reali, utilizzando la connessione tra integrali complessi e reali.
- Studio delle proprietà globali delle funzioni analitiche, inclusi i loro zeri e poli.
Conclusione
Il teorema dei residui non solo semplifica il calcolo degli integrali complessi, ma offre anche una profonda comprensione del comportamento locale e globale delle funzioni analitiche nel piano complesso. La combinazione di concetti come i residui, i poli e le serie di Laurent rende questo teorema uno degli strumenti più versatili in analisi complessa.
