Convergenza di serie di potenze

Le serie di potenze sono un elemento fondamentale dell’analisi complessa. Esse rappresentano una funzione come una somma infinita di termini della forma:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z – z_0)^n, \]

dove:

  • \( a_n \) sono coefficienti complessi,
  • \( z_0 \) è il centro della serie,
  • \( z \) è una variabile complessa.

Raggio di convergenza

Per ogni serie di potenze, esiste un raggio \( R \), chiamato raggio di convergenza, entro il quale la serie converge assolutamente. Il valore di \( R \) può essere calcolato utilizzando la formula:

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}, \]

oppure, quando il limite superiore esiste:

\[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}. \]

La serie converge assolutamente per \( |z – z_0| < R \) e diverge per \( |z - z_0| > R \). Sul bordo del cerchio di convergenza \( |z – z_0| = R \), il comportamento della serie deve essere analizzato caso per caso.

Convergenza assoluta e uniforme

Quando \( |z – z_0| < R \), la serie converge assolutamente, ovvero:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \left| a_n (z – z_0)^n \right| < \infty. \]

Inoltre, per \( |z – z_0| \leq r \) con \( r < R \), la convergenza è anche uniforme. Questo significa che la funzione rappresentata dalla serie può essere differenziata e integrata termine per termine entro il disco di convergenza \( |z – z_0| < R \).

Esempio: Serie geometrica

Esempio: Convergenza della serie geometrica

Consideriamo la serie geometrica:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} z^n, \]

dove \( a_n = 1 \) e \( z_0 = 0 \). Il raggio di convergenza è dato da:

\[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = 1. \]

Quindi, la serie converge per \( |z| < 1 \) e diverge per \( |z| > 1 \). Per \( |z| = 1 \), il comportamento dipende dal valore specifico di \( z \):

  • Se \( z = 1 \), la serie diverge.
  • Se \( z = -1 \), la serie alternata diverge.

Teorema di Abel

Il teorema di Abel afferma che, se una serie di potenze converge al limite \( |z – z_0| \to R^- \) per un valore del modulo inferiore al raggio di convergenza, allora la funzione definita dalla serie è continua anche nel limite \( |z – z_0| = R \).

Proprietà delle serie di potenze

  • Le serie di potenze rappresentano funzioni analitiche entro il disco di convergenza.
  • La derivazione e l’integrazione di una serie di potenze possono essere effettuate termine per termine:
    • Derivazione:
    • \[ f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (z – z_0)^{n-1}. \]

    • Integrazione:
    • \[ \int f(z) \, dz = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (z – z_0)^{n+1}. \]

Conclusione

Le serie di potenze sono strumenti potenti per rappresentare e analizzare funzioni complesse. La loro convergenza assoluta e uniforme entro un disco di raggio \( R \) rende possibile utilizzare proprietà analitiche avanzate, come lo sviluppo in serie di Taylor e Laurent. Questi risultati sono fondamentali per l’analisi complessa e le sue applicazioni.