Un modello ISU (Ingresso-Stato-Uscita) è una rappresentazione matematica di un sistema dinamico, utilizzata nell’ambito dei controlli automatici per descrivere il comportamento del sistema in termini di relazioni tra gli ingressi, lo stato interno e le uscite.

Struttura di un Modello ISU

Un sistema descritto in forma ISU viene generalmente rappresentato con equazioni differenziali o differenze nella forma:

  1. Equazione dello stato (dinamica del sistema):x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)dove:
    • x(t)\mathbf{x}(t)x(t) è il vettore di stato (descrive lo stato interno del sistema).
    • u(t)\mathbf{u}(t)u(t) è il vettore di ingresso (variabili controllabili esterne).
    • A\mathbf{A}A è la matrice di stato (definisce le interazioni tra le variabili di stato).
    • B\mathbf{B}B è la matrice di ingresso (descrive come gli ingressi influenzano lo stato).
  2. Equazione dell’uscita (relazione tra stato e uscite):y(t)=Cx(t)+Du(t)\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)dove:
    • y(t)\mathbf{y}(t)y(t) è il vettore di uscita (risultati osservabili del sistema).
    • C\mathbf{C}C è la matrice di uscita (relazione tra lo stato interno e le uscite).
    • D\mathbf{D}D è la matrice di trasmissione diretta (definisce l’effetto diretto degli ingressi sulle uscite).

Caratteristiche

  • Stato (x\mathbf{x}x): rappresenta le variabili che racchiudono tutte le informazioni necessarie per descrivere il comportamento del sistema a un dato istante.
  • Ingresso (u\mathbf{u}u): rappresenta le grandezze esterne che influenzano il sistema.
  • Uscita (y\mathbf{y}y): rappresenta le grandezze osservabili o di interesse del sistema.

Applicazioni del Modello ISU

  • Analisi della stabilità: determinare se il sistema rimane stabile in presenza di perturbazioni.
  • Progettazione di controllori: utilizzare il modello per progettare regolatori come PID, controllori a retroazione dello stato, o osservatori.
  • Simulazione: modellare e simulare il comportamento del sistema in risposta a vari ingressi.

Esempio

Per un sistema meccanico semplice come una massa-molla-smorzatore, il modello ISU potrebbe essere rappresentato come:

  • Stato: posizione e velocità (x1=posizionex_1 = posizionex1​=posizione, x2=velocitaˋx_2 = velocitàx2​=velocitaˋ).
  • Equazione dello stato: [x˙1x˙2]=[01−km−cm][x1x2]+[01m]u\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u[x˙1​x˙2​​]=[0−mk​​1−mc​​][x1​x2​​]+[0m1​​]u
  • Uscita: y=[10][x1x2].y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}.y=[1​0​][x1​x2​​].

In questo caso, kkk, mmm, e ccc rappresentano costante elastica, massa e coefficiente di smorzamento, rispettivamente.