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Delta di Dirac

Immagina un'entità matematica così strana da essere infinita in un punto e nulla ovunque altrove. Un oggetto apparentemente impossibile, eppure fondamentale nella fisica, nell’ingegneria e nel calcolo delle distribuzioni.

Fourier e Cauchy: i primordi

Era l’anno 1822, e Jean-Baptiste Joseph Fourier stava ultimando il suo trattato Théorie analytique de la chaleur. Il suo obiettivo era comprendere la diffusione del calore nei corpi solidi e, per farlo, sviluppò un metodo straordinario: la rappresentazione delle funzioni tramite serie trigonometriche, oggi note come serie di Fourier.

Dal Discreto al Continuo

Fourier aveva scoperto che qualsiasi funzione periodica \( f(x) \) poteva essere espressa come una somma infinita di sinusoidi:

$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} $$

con i coefficienti calcolati mediante:

\[ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x} dx \]

Ma cosa accade se la funzione non è periodica? Fourier trasformò la sua somma in un integrale, ottenendo la sua trasformata:

\[ F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i k x} dx \]

e la ricostruzione:

\[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{i k x} dk \]

Un’Onda Infinita Concentrata in un Punto

Fourier si chiese cosa succedesse se \( F(k) = 1 \). Inserendo questa espressione nell’integrale inverso, ottenne:

\[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} dk \]

Si accorse che, per valori di \( x \neq 0 \), i termini oscillanti si annullavano tra loro, ma per \( x = 0 \), tutte le onde si sovrapponevano perfettamente. Questo risultato, oggi noto come delta di Dirac, si scrive formalmente:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} dk = 2\pi \delta(x) \]

Fourier non usò il simbolo \( \delta(x) \), perché nel 1822 nessuno immaginava un oggetto matematico così strano: una funzione nulla ovunque tranne in un punto, con integrale unitario.

Un Mostro Matematico Incompreso

Fourier capì che il suo risultato descriveva qualcosa di fondamentale, ma non poteva formalizzarlo. La sua intuizione rimase nell’ombra fino al 1930, quando Paul Dirac formalizzò la funzione delta, e solo negli anni ’40 Laurent Schwartz ne fornì una base rigorosa con la teoria delle distribuzioni.Così, senza saperlo, Fourier aveva scoperto un oggetto che avrebbe cambiato per sempre la matematica e la fisica. Un’entità sfuggente, una funzione fantasma che, nel tentativo di descrivere il calore, aveva lasciato un segno invisibile nella storia della scienza.

Immagina un’entità matematica così strana da essere infinita in un punto e nulla ovunque altrove. Un oggetto apparentemente impossibile, eppure fondamentale nella fisica, nell’ingegneria e nel calcolo delle distribuzioni. In questo video faremo un viaggio attraverso la storia della Delta di Dirac, dalla sua geniale intuizione fino alla sua formalizzazione rigorosa nelle distribuzioni di Schwartz. Scoprirai perché Paul Dirac ha introdotto questa funzione “impossibile” e come viene utilizzata nella fisica quantistica, nell’elaborazione dei segnali e in molti altri ambiti. Analizzeremo le sue proprietà più sorprendenti, come la capacità di isolare valori in un’integrazione e il suo ruolo nelle equazioni differenziali. Sarà un viaggio straordinario ai confini della scienza!

Il circuito di Heaviside

Alla fine del XIX secolo, Oliver Heaviside studiava il comportamento della corrente elettrica nei circuiti e si trovò ad affrontare un problema fondamentale: cosa succede quando si accende improvvisamente un interruttore?

Il Problema: Accendere un Interruttore

Consideriamo un circuito con una batteria, un resistore e un interruttore. Quando l’interruttore è chiuso, la corrente inizia a fluire. Prima dell’accensione, la corrente è nulla, subito dopo assume un valore costante \( I_0 \). Questo comportamento è descritto dalla funzione gradino di Heaviside:
\( I(t) = 0, \quad \text{per } t < 0 \)   \( I(t) = I_0, \quad \text{per } t \geq 0 \)

Formalmente, possiamo scrivere: \( I(t) = I_0 H(t) \), dove \( H(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \geq 0 \end{cases} \)

La Derivata della Funzione Gradino

Per analizzare la variazione istantanea della corrente, Heaviside calcolò la derivata di \( I(t) \):
\( \frac{d}{dt} I(t) = I_0 \frac{d}{dt} H(t) \). Ma la derivata di \( H(t) \) non è una funzione normale! Oggi sappiamo che: \( \frac{d}{dt} H(t) = \delta(t) \), quindi \( \frac{d}{dt} I(t) = I_0 \delta(t) \).

Il Picco di Tensione e l’Induttanza

Se il circuito include un induttore \( L \), la tensione ai suoi capi segue la legge: \( \frac{d}{dt} I(t) = I_0 \delta(t) \), segue che: \( V_L (t) = L I_0 \delta(t) \).

Questo significa che nel momento esatto in cui l’interruttore si chiude, l’induttore genera un picco di tensione infinitamente breve e intenso, esattamente come descritto dalla delta di Dirac.

Conclusione

Senza rendersene conto, Heaviside aveva introdotto un concetto fondamentale della matematica: la derivata della funzione gradino è un impulso infinitamente concentrato. La delta di Dirac, formalizzata solo decenni dopo, era già nascosta nelle sue equazioni. Oggi questo principio è essenziale in circuiti, segnali e sistemi dinamici.

Dirac e la Meccanica Quantistica

In meccanica quantistica, Dirac cercava un modo per descrivere stati perfettamente localizzati nello spazio. Se una particella si trova esattamente in un punto \( x_0 \), la sua funzione d’onda non può essere una funzione normale, ma qualcosa che soddisfi la proprietà: \( \psi(x) = \delta(x – x_0) \). Questo significa che la funzione d’onda è nulla ovunque, eccetto nel punto \( x_0 \), e che il suo integrale fornisce il valore 1.

Definizione Operazionale della Delta di Dirac

Dirac definì la funzione delta attraverso la sua proprietà fondamentale di sifting:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x – a) dx = f(a) $$.

Questa equazione significa che la delta agisce come un filtro perfetto, selezionando il valore della funzione in un punto specifico. In altre parole, la delta non è una funzione normale, ma un’entità matematica con proprietà speciali.

La Delta come Limite di Funzioni

Per rendere più concreto il concetto, Dirac mostrò che la delta poteva essere approssimata come il limite di una famiglia di funzioni normali, ad esempio una gaussiana:
\( \delta_n(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} e^{-x^2/n} \) con \( \lim_{n \to 0} \delta_n(x) = \delta(x) \).

Applicazioni della Delta di Dirac

La delta di Dirac trovò subito applicazioni fondamentali:

  • Meccanica quantistica: descrizione degli autostati degli operatori di posizione.
  • Elettromagnetismo: rappresentazione di cariche puntiformi.
  • Teoria dei segnali: impulso unitario nella trasformata di Fourier.
  • Equazioni differenziali: soluzioni di equazioni con sorgenti concentrate.

Conclusione

Paul Dirac introdusse la delta come uno strumento pratico per la fisica teorica, ma la sua definizione non era rigorosa nel senso matematico. Solo negli anni ’40, Laurent Schwartz formalizzò il concetto con la teoria delle distribuzioni, fornendo una base matematica solida per l’uso della delta in fisica e ingegneria. Oggi, la delta di Dirac è un elemento essenziale in numerose discipline scientifiche.

Cos’è la Delta di Dirac?

La delta di Dirac, indicata con \( \delta(x) \), è una funzione generalizzata che rappresenta un impulso infinitamente stretto e alto, con area unitaria. Non è una funzione nel senso tradizionale, ma un oggetto matematico che ha senso solo all’interno di un integrale. La proprietà chiave della delta di Dirac è che agisce come un filtro per funzioni continue, selezionando il valore della funzione in un punto specifico.

Definizione della Delta di Dirac

La delta è definita dalla proprietà:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x – a) dx = f(a) $$

Questa relazione indica che la delta è nulla ovunque tranne in \( x = a \) e che il suo integrale è unitario:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1 $$

Proprietà della Delta di Dirac

  • Simmetria: \( \delta(-x) = \delta(x) \)
  • Traslazione: \( \delta(x – a) = 0 \) per \( x \neq a \)
  • Linearità: \( \int_{-\infty}^{\infty} (A f(x) + B g(x)) \delta(x – a) dx = A f(a) + B g(a) \)
  • Derivata della Delta: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta'(x – a) dx = – f'(a) \)
  • Rappresentazione come limite: \( \delta_n(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} e^{-x^2/n} \) con \( \lim_{n \to 0} \delta_n(x) = \delta(x) \)

Esempi Didattici di Uso della Delta di Dirac

Esempio 1: Meccanica Quantistica

Lo stato di una particella perfettamente localizzata in \( x_0 \) è rappresentato da:

\( \psi(x) = \delta(x – x_0) \)

Esempio 2: Elettromagnetismo e Cariche Puntiformi

La densità di carica \( \rho(x) \) di una carica puntiforme \( q \) situata in \( x = a \) è descritta da:

\( \rho(x) = q \delta(x – a) \)

Esempio 3: Impulso in Teoria dei Segnali

La delta di Dirac rappresenta un impulso ideale in un sistema lineare:

\( h(t) = \delta(t) \)

Un sistema con una risposta impulsiva \( h(t) \) reagisce a un segnale \( x(t) \) tramite la convoluzione:

\( y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t – \tau) d\tau = x(t) \)

Conclusione

La delta di Dirac è uno strumento potente per modellare fenomeni con sorgenti concentrate e segnali impulsivi. Oggi viene utilizzata in fisica, ingegneria e matematica applicata in numerosi contesti.

Distribuzioni

Definizione tramite le Distribuzioni

La delta di Dirac non è una funzione classica, ma un oggetto matematico noto come distribuzione. Formalmente, viene definita come un funzionale lineare che agisce su un insieme di funzioni test \( \phi(x) \) appartenenti allo spazio delle funzioni lisce a supporto compatto. La sua definizione rigorosa è:

\( \delta(\phi) = \phi(0) \) per ogni funzione test \( \phi(x) \).

Questo significa che la delta di Dirac non ha un valore puntuale, ma ha senso solo quando applicata a una funzione tramite l’integrazione:

\( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \phi(x) dx = \phi(0) \).

Proprietà nelle Distribuzioni

  • Linearità: \( \int_{-\infty}^{\infty} (A \phi(x) + B \psi(x)) \delta(x) dx = A \phi(0) + B \psi(0) \)
  • Traslazione: \( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x – a) \phi(x) dx = \phi(a) \)
  • Derivata della Delta: \( \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x) \phi(x) dx = – \phi'(0) \)
  • Identità di Convoluzione: \( (f * \delta)(x) = f(x) \)

Esempio Applicativo nelle Equazioni Differenziali

La delta di Dirac è utilizzata per modellare sorgenti concentrate in equazioni differenziali. Ad esempio, l’equazione:

\( \frac{d^2 y}{dx^2} = \delta(x) \)

ha come soluzione la funzione di Green corrispondente, che permette di risolvere equazioni differenziali con condizioni al contorno specifiche.

Conclusione

La definizione della delta di Dirac tramite la teoria delle distribuzioni ha permesso di dare un significato rigoroso a molte operazioni utilizzate in fisica e ingegneria, fornendo una base solida per il suo utilizzo in analisi funzionale, trasformate integrali ed equazioni differenziali.

GIUX

Physical / Engineer - Author of YouSciences

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