Le funzioni analitiche rappresentano uno dei concetti più affascinanti e fondamentali dell’analisi complessa. Si tratta di funzioni complesse che non solo sono derivabili in un punto, ma lo sono in ogni punto di un intorno del dominio in cui sono definite. Questa proprietà le rende straordinariamente regolari, al punto da poter essere espresse come serie di potenze e da possedere molteplici applicazioni teoriche e pratiche.
Cosa significa essere analitica?
Una funzione \( f(z) \) è detta analitica in un punto \( z_0 \) se esiste la derivata:
\[ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} \]
Tuttavia, ciò che distingue le funzioni analitiche dalle normali funzioni derivabili in campo reale è che la derivata complessa deve esistere indipendentemente dalla direzione lungo cui \( z \) si avvicina a \( z_0 \). Questa condizione direzionale è cruciale perché in campo complesso i numeri hanno una struttura bidimensionale: possono essere visti come punti in un piano.
Inoltre, affinché una funzione sia analitica in un punto, deve soddisfare le famose equazioni di Cauchy-Riemann:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, \]
dove \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), con \( u(x, y) \) e \( v(x, y) \) rispettivamente la parte reale e quella immaginaria della funzione. Queste equazioni assicurano una connessione intrinseca tra le due componenti della funzione.
Un mondo di regolarità
Le funzioni analitiche non si limitano a essere derivabili: sono straordinariamente regolari. Se una funzione è analitica, essa possiede derivate di ogni ordine e può essere sviluppata in una serie di potenze (come una serie di Taylor). Questa proprietà è una conseguenza del fatto che in campo complesso non esistono “angoli” o “spigoli” nella curva rappresentata da una funzione analitica.
Esempi di funzioni analitiche
Vediamo ora alcuni esempi classici di funzioni analitiche, per comprendere meglio come si manifestano nella pratica.
1. Funzione polinomiale
Ogni polinomio della forma:
\[ f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots + a_n z^n \]
è analitico nell’intero piano complesso \( \mathbb{C} \). Ad esempio, il polinomio:
\[ f(z) = z^3 + 2z – 1 \]
è analitico dappertutto, e la sua derivata è semplicemente:
\[ f'(z) = 3z^2 + 2. \]
2. Funzione esponenziale
La funzione esponenziale:
\[ f(z) = e^z \]
è forse una delle più note funzioni analitiche. È definita ovunque nel piano complesso e soddisfa la relazione straordinaria:
\[ f'(z) = e^z, \]
dimostrando di essere la sua stessa derivata. Questa proprietà la rende essenziale in moltissime applicazioni, come la risoluzione di equazioni differenziali complesse.
3. Funzione razionale
Una funzione razionale, come:
\[ f(z) = \frac{1}{z} \]
è analitica in tutto il piano complesso eccetto nel punto \( z = 0 \), che è una singolarità isolata. Questo significa che la funzione non può essere derivata in \( z = 0 \), ma rimane analitica altrove.
4. Funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche complesse, come \( \sin(z) \) e \( \cos(z) \), sono anch’esse analitiche ovunque e soddisfano relazioni familiari come:
\[ \frac{d}{dz} \sin(z) = \cos(z), \quad \frac{d}{dz} \cos(z) = -\sin(z). \]
Inoltre, grazie alla formula di Eulero, sappiamo che:
\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta), \]
che collega le funzioni trigonometriche al mondo delle funzioni esponenziali.
Condizioni per l’analiticità
Riassumendo, affinché una funzione sia analitica in un punto \( z_0 \), devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
- La funzione deve essere definita in un intorno di \( z_0 \).
- Le equazioni di Cauchy-Riemann devono essere soddisfatte in \( z_0 \).
- Le derivate parziali \( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y} \) devono essere continue.
Conclusione
Le funzioni analitiche rappresentano il cuore dell’analisi complessa, grazie alla loro estrema regolarità e alla loro connessione profonda con strutture geometriche e algebriche. Dalle applicazioni teoriche, come la risoluzione di problemi differenziali, fino agli utilizzi in ingegneria e fisica, il loro ruolo rimane cruciale.