Il paradosso di Monty Hall

In questo gioco vengono mostrate al giocatore tre porte chiuse. Solo una porta tra queste contiene come premio una Ferrari,
le altre due nascondono una capra. Il giocatore deve scegliere quale porta aprire, in modo da portare a casa il suo contenuto

Dopo aver scelto una porta, e prima di aprirla, il conduttore, che conosce il contenuto delle tre porte, decide di aprire una delle due porte rimanenti e tale porta contiene una capra, dunque viene aperta di proposito una porta perdente

A questo punto Il conduttore offre al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta iniziale, passando dunque all’unica porta rimanente

Sorge spontanea una domanda: conviene per il giocatore cambiare la scelta iniziale?

Una persona poco attenta direbbe: è la stessa cosa, ho una possibilità su due di perdere, una roba del tipo 50 e 50. Niente di più sbagliato!!

Contro intuitivamente conviene cambiare la scelta iniziale, infatti le probabilità di vittoria del giocatore passano da \(\frac{1}{3}\) iniziale a \(\frac{2}{3}\) finale. Cambiando la scelta si ha il doppio della probabilità iniziale di vincere!

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Soluzione del problema

Cerchiamo adesso di capire il perchè conviene per il giocatore cambiare la scelta iniziale. Supponiamo di avere nelle porte 2 e 3 le capre, nella porta 1 la Ferrari

Quando il giocatore effettua la sua scelta iniziale si generano tre possibili scenari, ciascuno avente una probabilità di
\(\frac{1}{3}\), una possibilità di vincere su tre:

Come vedete se il giocatore cambia la sua scelta iniziale , ha due scenari su tre dove vince il premio.

Perché questo ragionamento è controintuitivo? Si ha l’idea che nel calcolo delle probabilità il passato possa essere ignorato, risulta ininfluente. Dopo l’apertura di una delle due porte rimanenti, visto che siamo difronte alla scelta tra due porte, l ‘intuito ci porta a pensare che la probabilità di scegliere quella giusta sia del 50%.
Ovviamente no!
Il passato non puo essere ignorato in tutti i giochi.
Ad esempio nel lancio della moneta, la probabilità rimane sempre del 50%, indipendentemente dai lanci effettuati nel passato. In sostanza in questo caso il passato non influenza la probabilità.
Quello che fa la differenza nel problema di Monty Hall è la restrizione dei possibili eventi futuri.
Infatti nel momento in cui il conduttore apre una delle porte contenente una capra, toglie al giocatore una possibile scelta che è sicuramente perdente.

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Un altro punto di vista…

Non siete ancora convinti vero?? Facciamo allora un ragionamento prettamente numerico.

Abbiamo le tre porte, il giocatore ne sceglie una, la probabilità di prendere la ferrari è di \(\frac{1}{3}\), il che
significa che nelle restanti due porte la probabilità di trovare la ferrari è di \(\frac{2}{3}\), ricordando che la
somma di tutte le probabilità deve fare sempre 1!!

Quando il conduttore, apre volutamente, una porta perdente tra le due rimanenti, la probabilità di vincita della porta scelta dal giocatore all’inizio, rimane di \(\frac{1}{3}\). Non viene influenzata dall’azione del conduttore.
Ci ricordiamo adesso che prima di aprire una delle due porte rimanenti, la loro probabilità di vincita era di \(\frac{2}{3}\),
dunque dopo aver scartato una delle due porte, che contiene la capra, tutta la probabilità di vincita finisce sulla porta rimasta:

Ecco che il giocatore che deve scegliere se cambiare porta oppure no, si trova difronte ad una scelta.
Rimanere con la porta iniziale che ha una probabilità di \(\frac{1}{3}\)
oppure cambiare con una porta che ha adesso una probabilità di vincita pari a \(\frac{2}{3}\).

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Considerazioni finali

Questo problema è molto bello perchè ci fa capire che molto spesso l’intuito inganna. Bisogna sempre utilizzare la logica e la matematica, altrimenti rischiate di sbagliare e, nel caso di un gioco a premi, di perdere!

Ho pubblicato sul mio canale youtube un video su tale paradosso.