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Paradosso delle tre carte

Il paradosso delle tre carte

Il paradosso delle tre carte è un classico problema del calcolo delle probabilità. Anche se semplice nasconde una risposta controintuitiva.

Abbiamo a disposizione tre carte con due lati:

Carta 1: ha entrambi i lati di colore rosso;
Carta 2: ha un lato di colore rosso e un lato di colore bianco;
Carta 3: ha entrambi i lati di colore bianco


Anche se semplice nasconde una risposta controintuitiva


Estraendo una carta, casualmente, e sapendo che il colore del lato visibile è
rosso, qual è la probabilità che il lato del colore non visibile sia rosso?
La risposta intuitiva è 50%, visto che un lato può essere o rosso oppure bianco. Ovviamente la risposta è errata.
La risposta esatta è circa 66%.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Soluzione del problema

Per capire il perchè di questo risultato risulta utile studiare tutti i possibili casi che si possono verificare. Per comodità farò la distinzione tra lato visibile, cioè quello che si vede dopo l’estrazione, e lato non visibile.
Visto che le carte sono tre e che i lati sono due, si possono verificare ben 6 casi, due per ogni carta e tutti con la stessa probabilità:

Caso 1 Carta 1: lato visibile rosso ,lato nascosto rosso;

Caso 2 Carta 1: lato visibile rosso ,lato nascosto rosso;

Caso 1 Carta 2: lato visibile rosso ,lato nascosto bianco;

Caso 2 Carta 2: lato visibile bianco ,lato nascosto rosso;

Caso 1 Carta 3: lato visibile bianco ,lato nascosto bianco;

Caso 2 Carta 3: lato visibile bianco ,lato nascosto bianco.

Noi sappiamo che quando viene estratta la carta il lato visibile è rosso, dunque i casi di interesse sono il primo, il secondo e il terzo. Abbiamo tre casi di interesse e solo due favorevoli. Dunque la probabilità è di \(\frac{2}{3}\), cioè 66%.

Come al solito attenzione perchè l’intuito spesso inganna!!

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